Integral de$\int\frac{dx}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}$

Question

Me pidieron que buscara la siguiente integral:

ps

Lo que traté de reemplazar$$\int\frac{dx}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}$ con$\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}$ para que:$u$ $ Y:$$du=\frac{dx}{x^3\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} \Rightarrow du*x=\frac{dx}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}$ $ Y podamos reemplazar:$$x=\sqrt{\frac{1}{1-u^2}}$ $ El problema es, cuando eso El resultado se deriva de que no obtenemos la expresión original. Simplemente no puedo encontrar mi error, por lo que se agradecerá algo de ayuda.

Answer 1

Sustituir$\text{u}=\frac{1}{x}$:

ps

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Ahora usa:

ps

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Entonces, obtenemos:

ps

Answer 2

La sustitución$u=\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}$ es equivalente a$|x|=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$. Para$x>1$, tenemos

$$ \begin{align} \int \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac1{x^2}}}\,dx&=\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,du\\\\ &=\arcsin(u)+C\\\\ &=\arcsin\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)+C\\\\ &=-\arcsin(1/x)+C' \end {align} $$

donde usamos la identidad$\arcsin(1/x)+\arcsin\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)=(\pi/2)\text{sgn}(x)=\pi/2$ cuando$x>1$.

Se puede proceder de manera similar para el caso en que$x<-1$.

Answer 3

INSINUACIÓN:

ps

Establecer$$\dfrac1{x^2\sqrt{1-\dfrac1{x^2}}}=\dfrac{|x|}{x^2\sqrt{x^2-1}}$ y$\sqrt{x^2-1}=u\implies x^2=u^2+1$