Demuestre que$ABC$ es equilátero

Question

Deje$D,E,F$ puntos en los lados BC, CA, AB respectivamente de un triángulo$ABC$ tal que$BD=CE=AF$ y$\angle BDF=\angle CED=\angle AFE$. Demuestre que$\triangle ABC$ es equilátero.

Mi intento - Usando la regla sinusoidal en triange$\triangle AFE$,$\triangle EDC$ y$\triangle BFD$, respectivamente, tenemos$AE \sin\angle AEF=BF \sin\angle BFD=DC\sin\angle FDC $.

Pero eso no ayuda mucho. No tengo ni idea de qué hacer. Por favor, ayuda.

Answer 1

Así que uno tiene la siguiente configuración

WLOG, suponga que $A$ es el máximo ángulo en $\triangle ABC$. Se desprende de la foto de abajo que $EF$ es el lado más grande de $\triangle DEF$.

Eso significa que $\angle D2$ es el ángulo más grande en $\triangle DEF$. Tenemos $$\angle D1=\min\{\angle D1,\angle E1,\angle F1\}.$$ Esto se deduce que las $\angle C$ es el mayor ángulo de $\triangle ABC$, o que $\angle C=\angle A$.

P/S: por Favor, disculpe mi mano-dibujo. Yo era demasiado perezoso para gráficos por ordenador.