El conjunto de todas las secuencias binarias $(a_n)$ tal que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{a_n}}{n}$ converge/diverge.

Question

Me interesa saber si los dos conjuntos descritos anteriormente son incontables.

Creo que he conseguido demostrar que el conjunto de secuencias binarias tal que la serie converge es incontable. La idea principal era elegir un real arbitrario $x$ . Entonces, dado que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ diverge, siempre podemos construir $a_n$ de manera que las sumas parciales se acerquen arbitrariamente a $x$ y por lo tanto convergen a $x$ . Por lo tanto, existe una suryección de todas estas secuencias a los reales, por lo que el conjunto es incontable.

Sin embargo, no he tenido suerte con el conjunto de secuencias tal que la serie no converge. He probado con el argumento de la diagonal, pero no veo la razón por la que la "nueva secuencia" tendría que dar lugar a una serie divergente. ¿Alguna idea?

Answer 1

El conjunto de series divergentes también es incontable. Elija $a_{2k}=1$ , por lo que la subsecuencia de términos pares ya tiende a infinito. Ahora, como en tu parte de la prueba, deja que los términos Impares tiendan a un número real $x$ . La combinación sigue siendo divergente hasta el infinito, por lo que hemos encontrado incontables series divergentes.