Factorización de polinomios de grado superior a 2

Question

Necesito ayuda para factorizar $x^4-x^2+16$ . He tratado de tomar $x^4$ como $(x^2)^2$ y factorizarla de la forma típica de factorizar una expresión cuadrática pero eso no sirvió. ¿Puede alguien ayudarme a factorizarla y también introducirme en el procedimiento que debo seguir para factorizar expresiones de grado superior a dos?

Answer 1

$$x^4-x^2+16$$

$$=[(x^2)^2+2\cdot x^2\cdot 4+4^2]-9x^2$$

$$=(x^2+4)^2-(3x)^2$$

$$=(x^2+4-3x)(x^2+4+3x)$$

utilizando $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .

Answer 2

$$x^4+8x^2+16-9x^2=(x^2+4)^2-(3x)^2=$$ $$=(x^2-3x+4)(x^2+3x+4)$$

Answer 3

Se puede hacer haciendo cuadrados perfectos $$ Let\ ax^2 +bx + c=0 \\Try\ to\ make\ the\ equation\ look\ in\ the\ form \\ax^2 +2\sqrt {ca}x +c-(2\sqrt{ca}-b)x=0 \\You\ will\ see\ that\ ax^2 +2\sqrt {ca}x +c\ makes\ a \ perfect\ square \\\therefore \quad ax^2 +2\sqrt {ca}x +c=(\sqrt ax + \sqrt c )^2 \\Thus\ the\ equation\ will\ convert\ to\ (\sqrt ax + \sqrt c )^2-(2\sqrt{ca}-b)x=0 \\Consider \ the\ term\ (2\sqrt{ca}-b)x \\We\ can\ write\ it\ as\ {[\sqrt{(2\sqrt{ca}-b)x}]}^2 \\Thus\ the\ equation\ is\ converted\ to\ form\ p^2-q^2=0 \\where\ p=\sqrt ax + \sqrt c \quad and\quad q=\sqrt{(2\sqrt{ca}-b)x} \\Equation\implies [\sqrt ax + \sqrt c]^2 - {[\sqrt{(2\sqrt{ca}-b)x}]}^2=0 $$ Ahora puedes aplicar $p^2-q^2=(p+q)(p-q)$ para obtener la factorización requerida.

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En cuanto a su pregunta
Considere $$ a= 1,b=-1 ,c=16 \ and\ usual \ substitution\ x=x^2\ (both\ x\ are\ different) \\ \therefore p=x^2+4 \quad q=3\sqrt {x^2}=3x $$

Después de esto es fácil de matemáticas, usted tiene que factorizar 2 ecuaciones más fácil lo que le da 4 raíces.)

Answer 4

Se puede hacer mediante una simple finalización de cuadrados. La presencia de $x^4$ y 16 indicios hacia la posibilidad de un $(x^2+4)^2$ así que calcula eso y compáralo con la función de tu pregunta. $(x^2+4)^2 = x^4+8x^2+16$ lo que nos deja una diferencia sólo en el $x^2$ término. Esta diferencia resulta ser $9x^2$ . Así que nuestra función se reduce a $$(x^2+4)^2-(3x)^2$$ Es fácil ver después de esto, un simple uso de $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ la respuesta final es $$(x^2-3x+4)(x^2+3x+4)$$