Si queremos hablar de la geometría de un espacio métrico, vamos por el siguiente procedimiento para definir geodesics. Podemos definir la longitud de una ruta en la (completa) el espacio como la longitud dada por la integración de más infinitesimal distancias en el camino. Intrínseca de la métrica del espacio está dado por el infimum de las longitudes de todas las rutas entre dos puntos. Si intrínseca de la métrica está de acuerdo con la métrica que llamamos el espacio de una longitud de espacio"; Si además hay un único camino entre dos puntos cuya longitud es la misma que la distancia entre los puntos, es lo que llamamos la ruta de la línea geodésica entre dos puntos. Podemos desde aquí vaya y hable acerca de la geometría.
La anterior definición de los usos que la propiedad de las líneas rectas en el plano euclidiano, que son los caminos más cortos entre dos puntos, para generalizar a abitrary métrica espacios. Esto está muy bien, y también muy bien conecta con la definición habitual de geodesics en la geometría de Riemann, sin embargo, es sólo aplicable a una clase restringida de espacios métricos (longitud de los espacios con la única geodesics), y parece depender más de la analítica de las propiedades en lugar de propeties relacionados únicamente a la métrica de sí mismo.
Sin embargo, aquí es una alternativa definición de líneas rectas en general métrica espacios que a mí me parece mucho más general, aplicable a muchos más espacios métricos y también depende únicamente de propiedades simples de la métrica. Una más de la propiedad de las líneas rectas en el plano euclidiano, además del hecho de que forma el camino más corto entre dos puntos, es que son el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de dos puntos dados. Vayamos, entonces, definir una línea recta en un espacio métrico como el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de dos puntos dados; he jugado con algunas de las ecuaciones y a mí me parece que, al menos en taxi espacio se da la 'correcta' líneas. ¿Cuál es el problema con esta definición? ¿Por qué no se utilizan? Qué propiedades de las líneas rectas y la geometría son generalizadas en general métrica espacios si utilizamos esta definición, y que se pierden las propiedades?
