Análisis complejo - función armónica como parte real de la función holomorphic

Question

¿Cómo sería probar el siguiente?

Si es simplemente conexa, en $\Omega$ $\mathbb C$ y $u$ es una función armónica en $\Omega$, demostrar que existe una función holomorfa $f$ $\Omega$ tal que $Re(f) = u$.

Answer 1

Podemos encontrar este tipo de holomorphic función de $f(z)$ como sigue: puesto que sabemos $u(z) = u(x, y)$, y es armónica, podemos tomar sus derivados

$u_x(x, y) = \dfrac{\partial u(x, y)}{\partial x}, \; u_y(x, y) = \dfrac{\partial u(x, y)}{\partial y}; \tag 1$

considere el campo vectorial

$V(x, y) = (V_x(x, y), V_y(x, y)) = (-u_y(x, y), u_x(x, y)); \tag 2$

evaluamos

$\nabla \times V(x, y) = \dfrac{\partial V_y(x, y)}{\partial x} - \dfrac{\partial V_x(x, y)}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 u(x, y)}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u(x, y)}{\partial y^2} = 0, \tag 4$

desde $u(x, y)$ es armónica; desde $\nabla \times V(x, y)$ se desvanece, $V(x, y)$ es el gradiente de una función $v(x, y)$$\Omega$:

$V(x, y) = \nabla v(x, y) = (v_x(x, y), v_y(x,y)); \tag 5$

dejamos $v(z) = v(x, y)$ ser parte del imaginario de $f(z)$:

$f(z) = f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y); \tag 6$

por (2) y (5) tenemos

$(-u_y(x, y), u_x(x, y)) = V(x, y) = (v_x(x, y), v_y(x,y)); \tag 7$

es decir,

$u_x(x, y) = v_y(x, y); \; u_y(x, y) = -v_x(x, y), \tag 8$

que son los de Cauchy-Riemann, las ecuaciones de la función de $f(z)$; por lo tanto $f(z)$ es holomorphic en $\Omega$, y es evidente que

$u(x, y) = \Re(f(x, y)); \; v(x, y) = \Im(f(x, y)), \tag 9$

como por la petición.

Nota Añadida en la Edición, el sábado 27 de enero de 2018 6:12 PM PST: De hecho, $v(x, y)$ puede ser explícitamente presentado de la siguiente manera: vamos a $z_0 = x_0 + i y_0 \in \Omega$ ser fijas y $z = x + iy \in \Omega$ ser arbitraria. Deje $\gamma(t):[0, 1] \to \Omega$ ser cualquier diferenciable camino de unirse a $(x_0, y_0)$$(x, y)$, es decir,

$\gamma(0) = (x_0, y_0),\; \gamma(1) = (x, y); \tag{10}$

entonces tenemos

$v(x, y) - v(x_0, y_0) = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{dv(\gamma(t))}{dt} = \int_0^1 \nabla v \cdot \gamma'(t) dt = \int_0^1 (-u_y, u_x) \cdot \gamma'(t) dt, \tag{11}$

lo que en principio nos permite calcular $v(z) = v(x, y)$ para cualquier $z \in \Omega$; $v(x_0, y_0)$ puede ser arbitrariamente especificado. Final de la Nota.