¿Es el error infinitamente pequeño lo mismo que $0$ ¿error?

Question

Estoy realmente confundido con la idea.

Si tengo un círculo puedo aproximar su área utilizando un polígono regular dentro de él, con $n$ lados, y puedo simplemente dividir ese polígono en triángulos y calcular el área. Si quiero una mayor precisión, puedo utilizar un polígono con más lados. La precisión es mayor porque el área entre el polígono y el círculo (el "error") disminuye a medida que $n$ aumenta.

Así que es lógico que si pudiéramos seguir sumando lados nuestra respuesta seguiría mejorando ya que el error se acercaría a $0$ .

No sé qué significa "añadir infinitos lados" porque para mí la idea no tiene sentido. No importa cuántos lados haya, siempre podemos añadir uno más. Pero sí tiene sentido preguntarse cuál es el valor que nunca alcanzamos pero al que nos acercamos cada vez más. Para ello utilizamos el concepto de límite.

El error pasa a ser "infinitamente pequeño", pero no entiendo qué significa esto realmente. ¿Es "infinitamente pequeño" lo mismo que $0$ ? Porque por definición nunca se llega a $0$ . Pero conceptualmente entonces cómo podemos decir que algo con error no nulo nos da una respuesta exacta como si tuviera $0$ ¿error?

Answer 1

Tal vez ayude ver el problema desde otro lado:

Se quiere determinar el área del círculo (bueno, para empezar, se supone que el círculo realmente tiene una zona, que de todos modos no está garantizada en sentido estricto: Existen conjuntos que no tienen área). Pero tú sólo sabes determinar el área de los polígonos.

Ahora observa que si un polígono está inscrito en el círculo, ciertamente no puede tener un área mayor que el círculo. Esto es cierto para cada tal polígono, por lo tanto sabes que el área del círculo, si existe, es un límite superior al conjunto de áreas de los polígonos inscritos. Por lo tanto, ciertamente no puede ser menor que el menos límite superior a esas áreas, es decir, su supremum.

Ahora resulta que si se calcula el área de un inscrito $n$ -gon, está creciendo monótonamente con $n$ por lo que su supremacía es igual al límite para $n\to\infty$ .

Tenga en cuenta, sin embargo, que en este punto, todo lo que sabe es que el límite da un límite inferior al área del círculo. Por lo que sabes, el círculo podría ser más grande que eso.

Sin embargo, ahora se puede hacer una segunda observación, a saber, que el área de un circunscrito polígono es siempre más grande que el área del círculo, y por tanto su mayor baja (el mínimo) es un superior límite del área del círculo.

Ahora el área de los polígonos circunscritos disminuye con $n$ por lo que ahora el ínfimo de aquellos es igual a su límite para $n\to\infty$ .

Así que ahora tienes un límite inferior del área del círculo, que viene dado por el límite de las áreas de los polígonos inscritos, y un límite superior de esa área, que viene dado por el límite de las áreas de los polígonos circunscritos. Y ahora resulta que ambos límites son iguales. Ahora bien, si el límite inferior del área de la circunferencia es igual al límite superior, es evidente que el área de la circunferencia debe ser igual. Obsérvese que también se demuestra que el área del círculo existe realmente.

Answer 2

Error infinitamente pequeño y $0$ error seguramente no son la misma cosa.

Aunque parece que ya has captado el concepto, permíteme reformular parte del hilo de pensamiento expuesto:

Dibuja un círculo de radio $1$ y fijar un número $\epsilon > 0$ . Hazlo realmente tan pequeño o tan grande como quieras, y ahora pídeme que cree un polígono regular cuya área no coincida con el área exacta del círculo por menos de $\epsilon$ . Si usted hace $\epsilon$ muy grande, entonces no necesitaré dibujar un polígono con muchos lados pero si haces $\epsilon$ muy, muy pequeño, entonces puede que tenga que dibujar un polígono con un número muy grande de lados. En cualquier caso, podemos estar de acuerdo en que cualquier $\epsilon > 0$ que elijas, mi tarea no es imposible. ¿Verdad?

Por lo tanto, probablemente no se puede decir que mi mejor aproximación al área de un círculo tiene error $\delta$ con $\delta > 0$ . ¿Por qué no? Sólo hay que poner $\epsilon = \delta$ y construir un polígono con un error de aproximación inferior a $\epsilon$ . Así que si realmente se insiste en encontrar un número que se pueda decir "las aproximaciones por polígonos tienen error bla ", entonces ningún número positivo serviría... así que es como $0$ es el primer número que no está mal... o es como $0$ es el menos mal respuesta, en cierto sentido...

Así es como yo explicaría esta relación, pero ciertamente infinitamente pequeño y $0$ no son lo mismo.

En una frase no muy precisa, infinitamente pequeño no es $0$ pero es como si lo fuera a todos los efectos prácticos.

Answer 3

Respondiendo a tu última frase, la respuesta no es el área de los polígonos, sino el área del círculo. Tenemos técnicas desarrolladas para encontrar el límite dada la función y el punto considerado. Por cierto el ejemplo del círculo es malo para explicar la forma en que se obtiene la respuesta.

La opción más sencilla es considerar un triángulo con vértices $A(0,0),B(1,0),C(1,1)$ y considerar un conjunto de rectángulos $R_i$ con vértices $(i/n, 0),((i+1)/n,0),(i/n,i/n),((i+1)/n,i/n)$ para $i=1,2,\dots n-1$ . El área de cada rectángulo $R_i$ es claramente $i/n^2$ y el área total de todos estos rectángulos es $(1+2+\cdots +(n-1))/n^2=(n-1)/2n$ y el área deseada del triángulo $ABC$ es el límite de esta expresión que es claramente $1/2$ .

---

Por tus comentarios parece que piensas que el área de las regiones planas es un concepto predefinido y que sólo intentamos aproximarnos a él por diversos métodos. ¡¡¡No!!!

El área de una región plana que es un rectángulo se define como el producto de su anchura y su altura/longitud. Para las regiones planas que no son rectángulos, el área se define mediante un procedimiento algo largo. Básicamente, primero encontramos un rectángulo grande, por ejemplo $R$ que contiene la región de interés digamos $I$ . A continuación, dividimos el rectángulo $R$ en múltiples rectángulos dibujando líneas paralelas a sus bordes. Supongamos que la anchura se divide en $m$ partes (no necesariamente iguales) y la altura se divide en $n$ partes (de nuevo no necesariamente iguales. Cuenta todos los rectángulos pequeños que están contenidos en $I$ y añadir sus áreas para obtener $s$ . Cuente además todos los rectángulos pequeños que contengan algún punto de $I$ . Suma sus áreas para obtener otro número $S$ .

Estas cifras $s, S$ dependen de la región de interés $I$ así como el modo de división de $R$ en $mn$ pequeños rectángulos. Consideremos el infimo $a$ de todos los números como $S$ y supremum $A$ de todos los números como $s$ . Si $a=A$ entonces decimos que la región $I$ tiene área $A=a$ de lo contrario, no se puede asignar ninguna zona a la región. Con un poco más de esfuerzo podemos demostrar que el área $A$ puede obtenerse como límite de tales aproximaciones como $s, S$ .

Answer 4

En primer lugar, hay un problema técnico que debe abordarse.

 The accuracy becomes better since the area between the polygon and circle 
 (the "error") decreases as n increases.

En realidad, sólo parece que el "error" disminuye a medida que aumenta n, a menos que se pueda demostrar. Esto se hace considerando polígonos inscritos y circunscritos en el círculo. En cuyo caso el área del círculo debe estar entre esas dos áreas. Entonces se demuestra que la diferencia de las áreas de los dos polígonos va a $0$ a medida que aumenta n.

Añadir "infinitos lados" no tiene sentido. En realidad es una forma poco práctica (¿colorida?) de decir que n se acerque al infinito.

Sin embargo, existe un campo llamado análisis no estándar en la que los números reales se aumentan con números que no son iguales a $0$ pero cuyas magnitudes son menores que cualquier número real positivo. Sería demasiado trabajo describir cómo funciona, pero quizá quieras comprobarlo.

Answer 5

Cuando se trata de un marco que incluye infinitesimales rigurosos, entonces un error infinitamente pequeño es de hecho lo mismo que un error cero en el siguiente sentido. Consideremos, por ejemplo, el problema de diferenciar $y=f(x)=x^2$ . Se elige un infinitesimal $x$ -incremento $\Delta x$ y calcula el correspondiente $y$ -incremento $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ , obteniendo $2x+dx$ .

Esta última expresión ya contiene toda la información sobre la pendiente en el punto , lo que significa que la derivada puede calcularse ahora aplicando la parte estándar: $f'(x)=\textbf{st}(2x+dx)=2x$ donde $\textbf{st}$ es el función de la pieza estándar . En este sentido, no hay ningún error una vez que se conoce la respuesta hasta un "error" infinitesimal.