Demostrar que no hay enteros $x, y, z$, que $x+y+z=0$ y $\frac1x+\frac1y+\frac1z=0$
Mi pensamiento era puesto que los números son enteros, entonces no puede ser $2$ los valores negativos que se anulan el positivo o $2$ números positivos para cancelar la negativa. Un entero tendría que cancelar el segundo y el tercero tendría la suma cero. ¿Estoy correcto?
La declaración queda incluso cuando uno permite $x, y, z$ a ser los números reales.
La segunda condición $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ sentido, ninguno de $x, y, z$ puede ser cero.
Si también se satisface la primera condición $x + y + z = 0$, tendremos
$$x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2\left(\frac1x + \frac1y + \frac1z\right)xyz = 0^2 - 0 = 0$ $ $x,y,z$ Mientras son números reales, Esto obliga a $x = y = z = 0$ y hace la segunda condición absurda.
Podemos suponer que $gcd(x,y,z)=1$;
$(1/x+1/y+1/z)xyz=xy+xz+yz=x(y+z)+yz$, $x+y+z=0$ implica que el $y+z=-x$, tenemos $x(y+z)+yz=-x^2+yz=0$. Podemos deducir que $x^2=yz$, $p$ sea un primo que divide a $x$, $p$ $yz$ implica las divisiones que divide a $p$ $y$ o $z$, supongamos que divide a que $p$ $y$, $-x/p=-y/p+z/p$ implica divide a $p$ $z$, contradicción. Deducimos que el $x=1$ $x=-1$, el mismo argumento muestra que el $y,z\in\{-1,1\}$. Esto es imposible.
Otra prueba usando polinomios simétricos/Vieta fórmulas. Esto se generaliza a cualquier campo.
Vamos $\sigma_1=x+y+z$, $\sigma_2=xy+yz+xz$, y $\sigma_3=xyz$ ser la primaria simétrica polinomios. Con el fin de hacer sentido de $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$, podemos asumir que $xyz\ne 0$. Entonces $\sigma_3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\sigma_2$, lo $\sigma_2=0$. Por lo tanto sabemos $\sigma_2=\sigma_3=0$. Ahora por las fórmulas de Vieta, $x$, $y$, y $z$ son las raíces del polinomio cúbico $t^3-\sigma_1t^2+\sigma_2t-\sigma_3=t^3-xyz$. Por lo tanto $x^3-xyz=0$, y del mismo modo para $y$$z$, por lo que tenemos $$x^3=y^3=z^3=xyz.$$ Dividiendo esta ecuación por $x^3$, obtenemos $$\newcommand{\of}[1]{\left({#1}\right)}1=\of{\frac{y}{x}}^3=\of{\frac{z}{x}}^3=\frac{y}{x}\frac{z}{x}.$$
Ahora hay dos casos. El primer caso es que $y/x=z/x=1$, en cuyo caso $x=y=z$. Junto con $x\ne 0$$x+y+z=3x=0$, podemos ver que $3=0$, por lo que este caso sólo puede suceder si las características del terreno es de 3. En ese caso, $x=y=z=c$ para cualquier valor distinto de cero constante $c$ da una solución. En particular, esto no puede suceder por $\Bbb{Q}$, por lo que no hay soluciones integrales para la ecuación en este caso.
El otro caso es que el $y/x=\omega$ donde $\omega\ne 1$, pero $\omega^3=1$. Esto sólo puede suceder cuando la característica de $K$ no es de tres, ya que en el carácter de los tres $(t^3-1)=(t-1)^3$, por lo que en el carácter de los tres, el único raíz cúbica de la unidad es 1. (Tenga en cuenta que$\omega^3=1$$\omega\ne 1$, junto implica que $\omega$ satisface el polinomio $1+t+t^2$.) Entonces para cualquier valor distinto de cero constante $c$, $x=c$, $y=\omega c$, $z=\omega^2 c$ da una solución válida y estos son solo soluciones, dado que $x+y+z=c+\omega c+\omega^2 c= c(1+\omega+\omega^2)=0$, e $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = \frac{1}{c}+\frac{1}{c\omega}+\frac{1}{c\omega^2}=\frac{1}{c}\of{1+\omega^2+\omega}=0$. Sin embargo, una vez más, no hay ninguna primitivas raíces cúbicas de uno en $\Bbb{Q}$, por lo que este caso no puede ofrecer soluciones integrales.
Nota sin embargo de que hay soluciones más $\Bbb{C}$ (es decir, $1,\omega,\omega^2$ donde $\omega=e^{2\pi i/3}$).
En resumen, tenemos una descripción completa de las soluciones a estas ecuaciones para cualquier campo $K$.
La forma de las soluciones depende de la característica de $K$. Si la característica es 3, las soluciones son de la forma $x=y=z=c\ne 0$ para cualquier valor distinto de cero constante $c$. De lo contrario, hay soluciones en $K$ si y sólo si, la ecuación de $1+t+t^2$ tiene una solución $\omega$$K$, en cuyo caso las soluciones son, precisamente, de la forma $x=c$, $y=c\omega$, $z=c\omega^2$ para cualquier valor distinto de cero constante $c$.
Que $x,y,z \not = 0$ ser enteros.
$1$) Multiplicar el $\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=0$ $xyz:$
$$zy + zx + yx=0.$$
$2$) Plaza $x+y +z = 0:$
$$x^2+y^2+z^2 + 2(xy +xz +yz) =0$$
Segundo término es $0$, véase $1$).
Por lo tanto: $$x^2+y^2+z^2= 0.$ $
Una contradicción asumimos $x,y,z \not = 0$ son números enteros.
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