Complejo Integral definida: $\int _0^1\frac{dx}{\left(1+\sqrt{x}\right)^4}$

Question

Calcular la siguiente integral definida:

$$\int _0^1\frac{dx}{\left(1+\sqrt{x}\right)^4}$$

Esto es lo que hice:

$$\int _0^1\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^4} \, dx$$

$$u = \sqrt{x}$$

$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \, dx$$

$$du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx$$

Y después de esto que sólo se atascó. ¿Cómo exactamente se supone que debo escribir $du$ en términos de la integral inicial? No es doble y ni puedo dejar como está debido al $+1$. ¿Voy a hacer $u = 1 + \sqrt{x}$ en su lugar o hay una manera de hacerlo con la actual $du$?

¿Alguna ayuda?

Answer 1

La sustitución en el OP es equivalente a $x=u^2$. Entonces, $dx=2u\,du$ y tenemos

$$\int\frac1{(1+\sqrt x)^4}\,dx=2\int \frac{u}{(1+u)^4}\,du$$

A continuación, aplicar la sustitución $1+u=t$ para encontrar

$$\begin{align} \int\frac1{(1+\sqrt x)^4}\,dx&=2\int \frac{u}{(1+u)^4}\,du\\\\ &=2\int \frac{t-1}{t^4}\,dt\\\\ &=\frac{2}{3t^3}-\frac{1}{t^2}+C\\\\ &=\frac{2}{3(1+u)^3}-\frac{1}{(1+u)^2}+C\\\\ &=\frac{2}{3(1+\sqrt x)^3}-\frac{1}{(1+\sqrt x)^2}+C \end {Alinee el} $$

Answer 2

La respuesta es $$\int_0^1 \frac{dx}{(1+\sqrt x\,)^4} = 1/6$ $

Que $$x=(t-1)^2$ $ $$dx=2(t-1)dt$, % $ #% $ #%

$$\int _0^1\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^4}dx =$$

$$\int _1^{2}\frac {2(t-1)dt}{t^4}=$$

Answer 3

Sustituto $u=1+\sqrt x$ y $ du=\frac {dx} {2\sqrt x}=\frac {dx} {2(u-1)}$

$$\int _0^1\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^4}dx=2\int _1^2\frac{\sqrt xdu} {u^4}=2\int _1^2\frac{u-1} {u^4}du=2\int_1^2\frac{du} {u^3}-2\int_1^2\frac{du} {u^4}$$

Answer 4

Tienes $du = \dfrac {dx}{2\sqrt x},$ y de eso te $du = \dfrac{dx}{2u}$ lo que $2u\,du = dx.$

Pero una manera más rápida es diferenciar ambos lados de $u^2=x$ a $2u\,du = dx.$

Aviso que como $x$ $0$ $1,$ hace así $u,$ no cambian los límites de integración.

$$ \int_0^1 \frac{dx} {(1 + \sqrt x\,) ^ 4} = \int_0^1 \frac{2u\,du} {(1+u) ^ 4} = \int_0^1 \left (\frac A {1 + u} + \frac B {(1+u) ^ 2} + \frac C {(1+u) ^ 3} + \frac D {(1+u) ^ 4} \right) \, du. $$ tienes que hacer algunos álgebra para encontrar el $A,B,C,D.$