¿Por qué la inversa de la matriz de Hilbert tiene entradas enteras?

Question

Dejemos que $A$ sea el $n\times n$ matriz dada por

$$A_{ij}=\frac{1}{i + j - 1}$$

Demostrar que $A$ es invertible y que la inversa tiene entradas enteras.

Pude demostrar que $A$ es invertible. ¿Cómo puedo demostrar que $A^{-1}$ tiene entradas enteras?

Esta matriz se llama matriz de Hilbert. El problema aparece como ejercicio 12 en la sección 1.6 de la obra de Hoffman y Kunze Álgebra lineal (2ª edición).

Answer 1

Sea prudente, generalice (c)

Creo que la forma más agradable de responder a esta pregunta es es el cálculo directo de la inversa - sin embargo, para una matriz más general incluyendo la matriz de Hilbert como un caso especial. Las fórmulas correspondientes tienen una estructura muy transparente y generalizaciones posteriores no triviales.

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La matriz $A$ es un caso particular del llamado Matriz de Cauchy con elementos $$A_{ij}=\frac{1}{x_i-y_j},\qquad i,j=1,\ldots, N.$$ En concreto, en el caso de Hilbert podemos tomar $$x_i=i-\frac{1}{2},\qquad y_i=-i+\frac12.$$ El determinante de $A$ viene dada en el caso general por $$\mathrm{det}\,A=\frac{\prod_{1\leq i<j\leq N}(x_i-x_j)(y_j-y_i)}{\prod_{1\leq i,j\leq N}(x_i-y_j)}.\tag{1}$$ Hasta un prefactor constante fácilmente calculable, la estructura de (1) se deduce de la observación de que $\mathrm{det}\,A$ se desvanece siempre que haya un par de coincidencias $x$ 's o $y$ 's. (En este último caso $A$ contiene un par de filas/columnas coincidentes). Para nuestro $x$ y $y$ el determinante es claramente distinto de cero, por lo que $A$ es invertible.

También se puede encontrar fácilmente la inversa $A^{-1}$ ya que la matriz obtenida a partir de una matriz de Cauchy suprimiendo una fila y una columna es también de tipo Cauchy, con una $x$ y una $y$ menos. Tomando el cociente de los dos determinantes correspondientes y utilizando (1), la mayoría de los factores se anulan y se obtiene \begin {align} A_{mn}^{-1}= \frac {1}{y_m-x_n} \frac { \prod_ {1 \leq i \leq N}(x_n-y_i) \cdot\prod_ {1 \leq i \leq N}(y_m-x_i)}{ \prod_ {i \neq n}(x_n-x_i) \cdot\prod_ {i \neq m}(y_m-y_i)}. \tag {2} \end {align}

Para nuestro particular $x$ y $y$ la fórmula (2) se reduce a \begin {align} A_{mn}^{-1}&= \frac {(-1)^{m+n}}{m+n-1} \frac { \frac {(n+N-1)!}{(n-1)!} \cdot \frac {(m+N-1)!}{(m-1)!}}{(n-1)!(N-n)! \cdot (m-1)!(N-m)!}= \\ &=(-1)^{m+n}(m+n-1){n+N-1 \choose N-m}{m+N-1 \choose N-n}{m+n-2 \choose m-1}^2. \end {align} La última expresión es claramente un número entero. $\blacksquare$

Answer 2

Se pueden escribir las entradas de la matriz de Hilbert de forma sencilla. Puedes ver la relación entre H(n) y H(n+1).

Veo la fórmula compleja y su derivación para obtener H^(-1)(n).

Hay algún documento que me diga algún patrón en las entradas de esta inversa. Se puede decir que H(n) contiene el recíproco de los enteros. ¿Se ha dicho algo sobre las entradas de los enteros en la inversa de H(n)?