Matemáticos ' tensores vs físicos ' tensores

Question

Parece, a veces, que los físicos y los matemáticos significar diferentes cosas cuando dicen la palabra "tensor." Desde mi punto de vista, cuando me dicen que el tensor, me refiero a un "elemento de un producto tensor de espacios vectoriales."

Por ejemplo, aquí es un segmento acerca de los tensores de la Zee, en el libro de la Gravedad de Einstein en una cáscara de Nuez:

Ya vimos en el capítulo anterior que un vector se define por cómo se transforma: $V^{'i} = R^{ij}V^j$ . Considere la posibilidad de una colección de "matemática entidades" $T^{ij}$ $i , j = 1, 2, . . . , D$ $D$espacio tridimensional. Si se transforman bajo rotaciones de acuerdo a $T^{ij} \to T^{'ij} = R^{ik}R^{jl}T^{kl}$ , entonces decimos que el $T$ transforma como un tensor.

Esto en realidad no tiene ningún sentido para mí. Incluso para los "vectores", y antes de llegar a "tensores" me parece que tendría que haber dado un sentido de lo que significa para un objeto a "transformarse". Cómo hacer que divina estas reglas de transformación?

No estoy completamente formalismo obligado, pero no tengo idea de cómo se podría inferir de estas reglas de transformación sin una noción de lo que el objeto es de primera. Para mí, si se me da, digamos, $v \in \mathbb{R}^3$ dotado con cualquier base, no se puede derivar que cualquier lineal mapa está dada por la multiplicación de la matriz, como parece que los físicos decir. Pero, estoy teniendo problemas en la interpretación de su declaración.

¿Cómo se puede derivar la manera en que algo se "transforma" sin tener una noción de lo que es? Si me quieren convencer de que la luna está hecha de queso verde, necesito al menos tener una noción de lo que la luna es de primera. Lo mismo es cierto de los tensores.

Mis preguntas son:

• ¿Qué son exactamente los físicos diciendo, y es que alguien puede traducir lo que dicen en algo más inteligible? ¿Cómo pueden conseguir estas "reglas de transformación", sin tener una noción de lo que la cosa es que ellos están transformando?
• ¿Cuál es la relación entre lo que los físicos se expresan frente a los matemáticos?
• ¿Cómo puedo hablar de esto con los físicos, sin ser acusado de ser un purista de formalismo y de algún tipo de plaga?

Answer 1

Lo que un físico probablemente significa cuando dicen "tensor" es "una sección global de un tensor de paquete." Voy a tratar de romper hacia abajo para mostrar la conexión con lo que los matemáticos decir por el tensor.

Los físicos están siempre tienen algún tipo de colector $M$ todo mentira. En la mecánica clásica o mecánica cuántica, este colector $M$ es generalmente plano espacio-tiempo, matemáticamente $\mathbb{R}^4$. En la relatividad general, $M$ es el espacio-tiempo colector cuya geometría se rige por las ecuaciones de Einstein.

Ahora, con esta subyacentes de colector $M$ podemos hablar de lo que significa tener un campo de vectores en $M$. Los colectores son localmente euclídeo, así que sabemos lo que vector tangente significa localmente en $M$. La pregunta es, ¿cómo hacer sentido de un campo vectorial a nivel mundial? La respuesta es, debe especificar una cubierta abierta de a $M$ por coordinar los parches, decir $\{U_\alpha\}$, y especificar campos vectoriales $V_\alpha=(V_\alpha)^i\frac{\partial}{\partial x^i}$ definido localmente en cada una de las $U_\alpha$. Por último, usted necesita para asegurarse de que en el se superpone $U_\alpha \cap U_\beta$ que $V_\alpha$ "de acuerdo" con $V_\beta$. Cuando usted toma un curso en la geometría diferencial, el estudio de campos vectoriales y demostrar que la forma correcta de parche de ellos es a través de la siguiente relación de sus componentes: $$ (V_\alpha)^i = \frac{\partial x^i}{\partial y^j} (V_\beta)^j $$ (aquí, de sumación de Einstein se utiliza la notación, y $y^j$ están las coordenadas de $U_\beta$). Con esta definición, se puede definir un vector paquete de $TM$$M$, que debe ser considerado como la unión de la tangente espacios en cada punto. La compatibilidad de la relación anterior se traduce a decir que no es un bien definido sección global $V$$TM$. Así, cuando un físico dice "esto transforma como este" están implícitamente diciendo "hay algunos bien definido sección global de este paquete, y estoy haciendo uso de su compatibilidad con el respeto a las diferentes opciones de coordinar los gráficos para el colector."

Entonces, ¿qué tiene esto que ver con la matemática tensores? Bien, dado el vector de paquetes de $E$$F$$M$, uno puede formar su producto tensor bundle $E\otimes F$, que es esencialmente definido por $$ (E\otimes F)_p = \bigcup_{p\in M} E_p\otimes F_p $$ donde el subíndice $p$ indica que "tomar la fibra en $p$." Los físicos, en particular, está interesado en afirmar tensor de poderes de $TM$ y su doble, $T^*M$. Cada vez que escribe "el tensor de la $T^{ij...}_{k\ell...}$ transforma así y así" se está hablando de una sección global $T$ de un tensor bundle $(TM)^{\otimes n} \otimes (T^*M)^{\otimes m}$ (donde $n$ es el número de la parte superior de los índices e $m$ es el número de índices menores), y están haciendo uso de la definedness de la sección global, al igual que el campo de vectores.

Edit: para responder directamente a su pregunta acerca de cómo obtienen sus reglas de transformación, cuando el estudio de la geometría diferencial, se aprende a tomar la compatibilidad de las condiciones de $TM$ $T^*M$ y convertirlos en relaciones de compatibilidad para el tensor de poderes de estos paquetes, eliminando así cualquier tipo de conjeturas en cuanto a cómo algunos tensor debe "transformar."

Para más información sobre este punto de vista, Lee el libro de Lisa Colectores sería un buen lugar para empezar.

Answer 2

Siendo un físico mediante la capacitación tal vez yo pueda ayudar.

El "físico" de la definición de un vector que aluden, en más matemáticos términos favorables sería algo como

Deje $V$ ser un espacio vectorial y fijar un marco de referencia $\mathcal{F}$ (matemáticos lingo: una base.) Una colección de $\{v^1, \ldots, v^n\}$ de los números reales que se llama un vector si a partir de un cambio de marco de referencia $\mathcal{F}^\prime = R ^{-1} \mathcal{F}$ se convierte en la colección de $\{ v^{\prime 1}, \dots, v^{\prime n}\}$ donde $v^{\prime i} =R^i_{\ j} v^j$.

Si te gusta, se define un vector como una clase de equivalencia de a $n$-tuplas de números reales.

Sí, en muchos libros de física más de lo que yo escribí es tácitamente implícita/encogió como no importante. De todos modos, la definición de los tensores, como las colecciones de números transformándose de acuerdo a ciertas reglas, no es tan esotérico/raros como yo soy consciente, y como otros han señalado también cómo los matemáticos de pensamiento acerca de ellos en el pasado.

Los físicos prefieren a menudo para describir objetos en lo que parece ser más intuitivo y menos términos abstractos, y uno de sus puntos fuertes es la capacidad para trabajar con vagamente definidos los objetos! (Sí, considero que es una fuerza y sí, tiene su desventaja y trampas, no hay necesidad de empezar a discutir sobre eso).

El caso de los tensores es similar, sólo pensar en la colección de los números con los índices de los componentes con respecto a alguna base. Se advierte que a veces lo que un físico llamadas de un tensor es en realidad un campo de tensores.

En cuanto a por qué se podría utilizar la definición en términos de componentes en lugar de la más elegante de invariantes: se tarda menos tecnología y más abajo-a-tierra, a continuación, la introducción de un módulo a través de un conjunto y quotienting por un ideal.

Por último, respecto a cómo comunicarse con los físicos: esto siempre ha sido una lucha en ambos lados, pero

1. Muchos físicos, al menos en la teoría general de la relatividad de la zona, están familiarizados con la definición de un tensor en términos de multilineal mapas. De hecho, esa es la forma en que están definidas en todos los GR libros que he mirado (Carroll, Misner-Thorne-Wheeler, Hawking-Ellis, Wald).

2. No estaría de a conocer, si no competente, con el índice de la notación. Tiene sus propias fortalezas y todavía es intrínseca. Ver Wald o el primer volumen de Penrose-Rindler "Spinors y el espacio-tiempo" bajo índice resumen de la notación para más sobre esto.

Answer 3

Yo tenía exactamente este debate hace unos meses, en los comentarios de esta respuesta en la Academia.SE. Permítanme informe aquí mi argumento, con algunas adiciones.

Vamos a empezar con el primer punto:

Parece, a veces, que los físicos y los matemáticos significar diferentes cosas cuando dicen la palabra "Tensor."

No hay realmente ninguna diferencia en las modernas definiciones de los vectores y tensores en la física y las matemáticas. Hubo una diferencia de 50 o más años, pero no hoy. Sin embargo, muchos de la vieja escuela de los físicos todavía insisten con el antiguo punto de vista.

Esto en realidad no tiene ningún sentido para mí. Incluso para los "Vectores" y antes de llegar a "Tensores" me parece que tendría que haber dado un sentido de lo que significa para un objeto a "transformarse". Cómo hacer que divina estas reglas de transformación?

En los tiempos antiguos los físicos definen los vectores y tensores como matrices de números que se transforma en dos formas posibles en virtud de los cambios del sistema de coordenadas. Un ejemplo de una definición puede encontrarse en E. Persico, Introduzione alla fisica matematica, p. 27 (pdf) a partir de 1943. Está en italiano, pero creo que el diferente enfoque matemático con respecto a los libros modernos es evidente (yo elegí este libro italiano como ejemplo porque estudié tensores en ella de unos treinta y pico de años atrás, cuando yo tenía 17 años, y todavía estoy encariñado con él). Para un físico, sistemas de coordenadas (que son puros objetos matemáticos), se asocia a marcos de referencia, es decir, a las operaciones físicas que permiten asociar las coordenadas con los eventos. Las reglas de transformación mencionado en tu post son entonces aquellos asociados a un cambio de base en un espacio vectorial o su doble.

Por supuesto, con esa definición, no se va muy lejos. La física moderna tiene un enfoque diferente: por ejemplo, en la mecánica Newtoniana, el espacio-tiempo se supone que sea un espacio afín con una estructura determinada (en la relatividad, uno asume una estructura diferente). Vectores, entonces, son los vectores del espacio vectorial asociado a este espacio afín, exactamente como lo haría en matemáticas. Un alemán de física de la libreta de la cual se adopta este enfoque es N. Straumann, Teóricas Mechanik". Uno acerca de la relatividad especial que adopta este punto de vista moderno es E. Gourgoulhon, la Relatividad Especial en los Marcos Generales.

En la física moderna, los tensores se define como multilineal mapas, mostrando que las viejas matrices de números eran más que las componentes del tensor con respecto a una determinada base. Y las reglas de transformación sigue directamente de la definición. Probablemente hay una diferencia con respecto a la definición matemática: de hecho, los tensores en el álgebra se definen como elementos de un tensor de espacio que posee un cierto universal de los bienes, y multilineal los mapas se utilizan constructiva de la prueba de la existencia de un tensor de espacio, pero esta es sólo una posible construcción de otros muchos que son isomorfos. Los físicos suelen omitir en esta y definir los tensores como multilineal mapas. He estudiado el enfoque moderno, ya en 1997, durante un curso de la relatividad, y la profesora insistió varias veces en que el viejo enfoque es obsoleta desde hace tiempo.

Answer 4

Usted está molesto por los tensores define como tuplas de números que "transformar" en cierta manera porque desea especificar lo que es un tensor es de primera. Pero, ¿qué le dirías a alguien que está confundido acerca de el significado de cociente de grupos o el cociente de los anillos, y desea saber cuáles son esas cociente de las construcciones son de primera? Cociente de construcciones son algo en matemáticas que desconcierta a muchos estudiantes, porque hay a menudo no es la primera descripción en términos de algo más simple. Simplemente son lo que son: que se aglutinen cosas por algunos de equivalencia de la relación.

Hacer lo mismo para definir los físicos tensores: en un $D$espacio tridimensional $V$ consideran pares de $(L,B)$ donde $L$ es una lista ordenada de $D$ números reales y $B$ es una base de $V$, con un par de $(L,B)$, y en un par de $(L',B')$ consideran equivalentes si $L$ $L'$ están relacionados por el tensor de la transformación de la regla que describe. Un tensor es entonces una clase de equivalencia de tales pares. ¿Que te satisface?

Consulte la sección 7 de http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/linmultialg/tensorprod.pdf para una discusión de cómo el físico de la descripción de los tensores en los términos de las reglas de transformación está relacionada con el matemático en la descripción de los tensores.

Answer 5

Antes de dar mi respuesta a esta pregunta, me gustaría hacer un comentario acerca de una suposición implícita en la pregunta. No, de hecho no hay una forma en que los físicos piensan acerca de los tensores: diferente (igual de bueno) físicos responder a esta pregunta de diferentes maneras. Algunos prefieren colocar matemático bien definedness primero y ante todo, que otros se centran en las medidas experimentales y están dispuestos a echar por la borda el formalismo matemático tan pronto como se pone confuso. (Un físico me dijo una vez, semi-en tono de broma, "siempre Es bueno cuando un grupo de definiciones es circular - de esa manera usted sabe que está auto-consistente.")

Dicho esto, esta es la forma I (físico) personalmente como para pensar acerca de los tensores: usted no puede "divina las reglas de transformación" en teoría. La actual definición de una "física tensor" siempre es fenomenológica (por ejemplo, el tensor electromagnético $F_{\mu\nu}$ se define en términos de la fuerza experimentada por una partícula cargada en ese punto en el espacio-tiempo). Para comprobar si se trata de un real tensor, usted necesita para medir los campos eléctricos y magnéticos en una sola estructura, a continuación, construir un aparato experimental que se mueve a través del mismo sistema a una buena fracción de la velocidad de la luz y la medida de los campos eléctrico y magnético en el mismo punto en el espacio-tiempo, y comprobar si los componentes son los apropiados $\mathrm{SO}(3,1)$ la conjugación de cada uno de los otros. (En la práctica, por supuesto, que casi nunca pueden realmente hacer esto, así que en lugar necesitamos, lógicamente, trabajar de lo que se vería si le podía hacer esto, y a continuación se derivan de la fenomenología de dicho sistema en el marco que podemos acceder. Espaciales $\mathrm{SO}(3)$ rotaciones, que realmente realmente puede girar el aparato y, a continuación, comprobar que nuestros mide los números cambian de forma adecuada.) Si tuviéramos que nunca medir cualquier (preciso, reproducible, etc.) las desviaciones de la predicción de la tranformation comportamiento, entonces llegaríamos a la conclusión de que la electromagnética "tensor" no es en realidad tensor.

Así que cuando se especula sobre el comportamiento de los exóticos campos físicos como un (hipotético) de axion de campo, para el que no tenemos datos experimentales en todo, ¿por qué siempre asumimos que se transforman como los tensores? Porque se supone, que se basa en la experimentación de la experiencia, que todas las leyes de la física transformar covariantly bajo Lorentz aumenta (cuando los efectos gravitacionales son insignificantes), incluyendo aquellas que describen exótica nueva cantidades físicas. Esto es muy útil supuesto, porque es enormemente reduce el número de posibles teorías físicas a tener en cuenta. Siempre es provisional, supongo que si; si alguna vez nos mide cualquier violación de Lorentz-invariancia de la física, entonces la cuestión de cómo una determinada exóticas cantidad física se transforma sería totalmente empírica.