Es la siguiente configuración compacta

Question

Sea $S$ el conjunto de $S = \{(e^{-x}\cos (x), e^{-x}\sin(x)) : x\geq 0\} \cup \{(x,0):0\leq x \leq 1\}$.

¿Es $S$ compacto? Sé que tengo mostrar si $S$ está cerrado y limitado, entonces es compacto. ¿Ya que el conjunto contiene aunque $x=0$ $x$ nunca es menor que $0$, es claramente compacto? ¿O hay algo más que mostrar?

Answer 1

El único límite punto del primer set $S_1$, pero no en $S_1$$(0,0)$. Ya que para cualquier $p=(u,v)\neq (0,0)$ $p$ no es un elemento del primer conjunto $S_1$, vamos a $r^2=u^2+v^2$, podemos encontrar suficientes gran $x$, s.t $e^{-x}<r$. Entonces podemos encontrar un barrio de $p$, que no se cruzan $S_1$. Por lo tanto $p$ no es un punto límite.

Desde $(0,0)$ está incluido en el segundo set $S_2=\{(x,0):0\leq x \leq 1\}$ $S_2$ está cerrada, la unión de $S=(S_1 \cup \{(0,0)\}) \cup S_1$ debe ser cerrado. Y es limitada ya que la contenida en la unidad de la plaza. Por lo tanto es compacto.