Bijection continuo en el intervalo abierto es Homeomorfismo

Question

Supongamos que $a,b\in\mathbb R$ $a<b$ y que $f:(a,b)\to\mathbb R$ es continua y biyectiva. Me gustaría probar que $f$ es un Homeomorfismo usando métodos elementales (no recurso a la invariancia del dominio, por ejemplo).

Para mi sorpresa, no he encontrado una referencia sencilla, estándar (libros de texto) para este resultado. Si conoces alguno o tienes una sugerencia inteligente en mente, le agradecería si pudiera compartirlo.

Answer 1

Es fácil de demostrar mediante el teorema de valor intermedio que cualquier inyección continua de un intervalo a $\mathbb{R}$ debe ser monotono (por ejemplo, si $c<d<e$ y $f(c)<f(e)<f(d)$ y $f(e')=f(e)$ $e'\in (c,d)$; otras fallas de la monotonía pueden manejarse de manera similar). Así $f$ es un bijection orden-preservar o una orden de inversión bijection $(a,b)\to\mathbb{R}$, que asigna intervalos abierto para abrir intervalos y por lo tanto, es un Homeomorfismo.

Answer 2

Otra posibilidad es utilizar el hecho de que la imagen continua de un conjunto compacto es compactada. Si $C\subset (a,b)$ está cerrado, entonces compacto ya que se limita. Sigue que $f(C)$ es compacto, por lo tanto cerrada y delimitada. Desde $f$ envía sistemas cerrados a sistemas cerrados (y es biyectiva), también envía conjuntos abiertos para abrir sets. Por lo tanto, para cada $U$en $(a,b)$ %, $f(U)$ está abierta. Entonces está abierto $(f^{-1})^{-1}(U)=f(U)$ y $f^{-1}$ es continua.

Answer 3

Hay una escuela primaria, en general, el libro de texto resultado que responde a su pregunta, y que se basa en el concepto de un adecuado mapa de $f : X \to Y$, lo que significa que la pre-imagen de cada subconjunto compacto de $Y$ es compacto en $X$.

Teorema: Si $f : X \to Y$ es de tipo continuo, adecuado bijection y $Y$ es un compacto genera espacio de Hausdorff, a continuación, $f$ es un cerrado mapa y, por tanto, un homeomorphism.

Uno no se lo prefiere, esto como una prueba para su problema específico, sin embargo, debido a que uno debe verificar propio de su mapa de $f : (a,b) \to \mathbb{R}$, y mi conjetura es que cualquier argumento por el propio sería similar a una de las respuestas existentes por otros.

Este teorema es un ejercicio, por ejemplo, en Munkres' topología libro.