La prueba de que $\pi$ es racional

Question

Me topé con esta prueba de $\pi$ ser racional (casualmente, es el Día de Pi). Por supuesto sé que $\pi$ es irracional y se han realizado varias pruebas de esto, pero me parece que no puede ver un error en la siguiente prueba que he encontrado aquí. Estoy asumiendo que eso va a ser descaradamente obvio para la gente de aquí, así que estaba esperando que alguien podría señalarlo. Gracias.

Prueba:

Vamos a demostrar que pi es, de hecho, un número racional, por inducción sobre el número de lugares decimales, N, a la que se aproxima. Para los valores pequeños de N, decir 0, 1, 2, 3, y 4, este es el caso de 3, 3.1, 3.14, 3.142, y 3.1416 son, de hecho, los números racionales. Para demostrar la racionalidad de la pi a través de la inducción, se asume que un N dígitos aproximación de pi es racional. Este número puede ser expresada como la fracción M/(10^N). Multiplicando nuestra aproximación a pi, con N dígitos a la a la derecha de la posición decimal, por (10^N) devuelve el entero M. la Adición de la el próximo dígito significativo a pi puede decirse que implican multiplicar ambos el numerador y el denominador por 10 y la adición de un número de entre -5 y +5 (aproximación) en el numerador. Ya que ambos (10^(N+1)) y (M*10+A) para Un entre -5 y 5 son números enteros, la (N+1)-dígitos aproximación de pi es también racional. También se puede observar que la adición de un dígito a la representación decimal de un número racional, sin pérdida de de la generalidad, no hacer un número irracional. Por lo tanto, por inducción sobre el número de decimales de pi es racional. Q. E. D.

Answer 1

Vamos a aplicar esta técnica a la mayor transparencia de la pregunta.

RECLAMO: $0.333\ldots < 1/3$

Prueba: Se introducirá en el número de dígitos decimales. Claramente, $0.3 < 1/3$. Ahora, por inducción, si $n$ dígitos de $0.333\ldots 3 < 1/3$, que, en particular,$3 \cdot 0.333\ldots3 = 0.999\ldots900 < 1$, y por lo $0.999\ldots 990$ (es decir, con un mayor $9$ dígitos) $<1$, y por tanto no tiene por $n+1$. Así que por la inducción, la demanda se demuestra.

¿Qué hay de malo con esto? La inducción es una prueba para todos los números naturales, no por $\infty$. Es claro que $0.333\ldots = 1/3$. Pero cualquier finito representación decimal es menor que $1/3$. Y la inducción sólo muestra que cualquier representación decimal finita es, de hecho, menos de $1/3$.

Este es el mismo error en el corazón de la $\pi$ de la argumentación racional.

Answer 2

Esta "prueba", muestra que cualquier número real es racional...

El error aquí es que usted está haciendo la inducción en la secuencia de $\pi_n$ de las aproximaciones. Y con la inducción se puede obtener información sobre cada elemento de la secuencia, pero no en su límite.

O, dicho de otro modo, la prueba de la b.s. "por lo tanto, por inducción sobre el número de decimales..."

Answer 3

Esta prueba también muestra que cada countably conjunto infinito es finito, incluyendo el conjunto de enteros positivos $\{1, 2, 3, 4, \ldots\}$. Después de todo $\{1,2,3,\ldots,n\}$ es finito, y por tanto si vamos a añadir el siguiente número de $n+1$, el conjunto de nos, $\{1,2,3,\ldots,n,n+1\}$ es finito. Añadir uno más no hace que el conjunto infinito, así que por inducción, vemos que el conjunto de todos los enteros positivos es finito.