Encontrar y ejemplo de dos elementos $a,b$ en un finito grupo $G$ tal que $|a| = |b| = 2, a \ne b$ $|ab|$ es impar.

Question

Encontrar y ejemplo de dos elementos $a,b$ en un finito grupo $G$ tal que $|a| = |b| = 2, a \ne b$ $|ab|$ es impar. Cualquier ideas sobre cómo ¿puedo encontrarlo?

Gracias

Answer 1

En $S_3$ la multiplicación de $(a,b)$ y $(b,c)$ es $(a,b,c)$

Answer 2

Hay un ejemplo muy general que usted debe saber acerca de, que de diedro grupos. Un diedro grupo tiene orden de $2n$, para cualquier $n \ge 2$, y que es generado por dos elementos de orden $2$, cuyo producto tiene una orden de $n$.

Probablemente la forma más sencilla de ver a estos grupos como un grupo de bijective mapas en $\mathbf{Z}_{n}$, $$ r : x \mapsto -x, \qquad b: x \mapsto -x-1. $$ (Los coeficientes se escriben como números enteros, pero destinado a ser en $\mathbf{Z}_{n}$.) Estos son claramente los elementos de orden $2$, mientras que a causa de $$ un \circ b(x) = (a(b(x)) = -(-x - 1) = x + 1 $$ $ab = a \circ b$ orden $n$.

(Geométricamente, un grupo es el grupo de congruencias de regular $n$-gon.)

Si usted hacer la misma cosa una $\mathbf{Z}$, se encuentra que las $ab$ tiene orden infinito.