Aquí :
Candidatos principales de la forma $n^{(n^n)}+n^n+1$ ?
Pedí los factores primos de $f(12)$ y $f(60)$ , donde $$f(n)=n^{(n^n)}+n^n+1$$
Me gustaría acelerar la búsqueda de los factores primos de $f(n)$ .
¿Existen propiedades especiales que restrinjan considerablemente los posibles factores primos de $f(n)$ ?
Los únicos números que he calculado completamente hasta ahora, son $f(1),f(2),f(3)$ y $f(4)$ . Para los que estén interesados, aquí están las factorizaciones :
Pequeños factores primos de la expresión (hasta 100k), para utilizarlos en la comprobación de cualquier hipótesis.
Observaciones: Los múltiplos de $6$ tienen algún tipo de opciones restringidas. Números $\{1,2,4\}\bmod 6$ tienen la expresión divisible por $3$ Otros no. Si $n{+}2$ es un primo impar o una potencia de un primo, ese primo divide la expresión. Si $2n{-}1$ es primo, eso suele ser un factor.
n factors
1 3
2 3 7
3 5
4 3 19 3457 35149
5 7 109 11213 63487
6 11
7 3 13 67 10477
8 3 19 37 73 109 433 38737
9 11
10 3 19
11 13 5737
12
13 3
14 3 23 43 61 211 463 547
15 17 29
16 3 11 131 457 2731 80611
17 5 19 661 9127
18 1319
19 3 17 37
20 3 13 31 67 127 421 3001 12277 71161
21 23 83
22 3 31 43 383 5717
23 5 7949
24 4549 55807
25 3 17 19 139 233 91841
26 3 7 19 31 37 79 313 547 859 15607
27 29 53
28 3 19 53 1667 16183 31159
29 31
30 59
31 3 7 61
32 3 7 13 61 97 151 193 241 331 673 1321 23041
33 41
34 3 67 29501
35 37 91243
36 911
37 3 5 11 47
38 3 7 59 67 1483 3079 25537
39 41 347
40 3 1451
41 13 43
42 83
43 3 5 421 797 1559 8803
44 3 7 67 283 631 1753 2137 28447 38611 46993
45 47 179 32009
46 3 17 173
47 7
48 23
49 3
50 3 19 31 43 601 1051 1201 2551 44371
51 53 101 30593
52 3 31 151 27283
53 7074407
54 17 103 107
55 3 109
56 3 13 31 43 73 79 103 3361 49393 70921
57 5 59 227 239 719
58 3 83 797
59 61
60
61 3 41
62 3 13 71 97 179 1303 1489 3907 8929
63 5 317 3617
64 3 43 3253
65 67
66 131
67 3 163
68 3 7 13 19 31 53 103 109 199 307 613 4007 23869 38149
69 71
70 3 19 89 139
71 11 73
72 1451 2389
73 3 7 8641
74 3 7 13 17 61 71 223 1801 3191
75 23 149 5419
76 3 2267
77 5 17 41 79 101 11867
78 16981
79 3 37 157
80 3 7 13 31 43 61 73 241 6481 27697 50221 60937
81 83 12451
82 3 163
83 5 47 97 293
84 53
85 3 79 233
86 3 7 1069 2437
87 89 173 491
88 3 59 653 18493
89 7 439 8689
90 179
91 3 181 8429
92 3 43 139 199 277 967 1381 2791
93 29
94 3
95 97 3089 3943 27127
96 53 211
97 3 5 13
98 3 31 43 313 3169
99 101 197 48413
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Como antecedente, ¿podría el OP explicar por qué quiere la factorización primaria de $60^{60^{60}} + 60^{60}+1$ ? ¿Y esto no es un duplicado? math.stackexchange.com/questions/2388274/
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@DavidG.Stork En la pregunta enlazada, sólo me interesan los factores de $f(12)$ y $f(60)$ En esta pregunta, me interesa, cómo puedo, en general, acelerar la búsqueda de un factor primo. ¿Por qué me interesa esta factorización? La misma razón por la que se buscan los primos de Mersenne, o $\pi$ se calcula con una precisión ridícula. Es curioso. Y, por qué quiero $f(12)$ y $f(60)$ en particular, se menciona en la pregunta del enlace, porque son los únicos candidatos principales que quedan (además de $f(1)=3$ )
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¿Existe algún algoritmo para la división en bases distintas de 10? Es decir, podemos escribir $$ f(n) = (100...11)$$ en la base $$ n^n$$ . De esta manera nos libramos de los números gigantescos en base 10. Probablemente podamos realizar la prueba de división más fácilmente.
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Buena idea, pero lamentablemente sólo podemos tomar la base $n$ . El número de dígitos sigue siendo $n^n+1$ pero sólo tenemos ceros y tres unos, podría ser útil.