Mostrando allí no son entero solución ecuación $\;2^x = 4y+3$

Question

Estoy atrapado en este problema y no sé cómo abordarlo. ¿Alguien me puede ayudar hacia fuera con pensando en cómo enfocar la prueba?

Mi tarea es:

Demostrar que es imposible encontrar enteros $\,x,\, y\,$ tal que $\;2^x = 4y + 3$.

¿Supuse que una prueba por casos sería el camino a seguir?

¿Cualquier entrada? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Prueba-Por-Casos - Sketch:

Consideramos $x \in \mathbb{Z}$. Para todos los $x \in \mathbb{Z}$:

1. $x > 0$
2. $x = 0,\;$ o
3. $x < 0$

$(1)$ Para el entero no negativo,$x (x >0)$: Mostrar el lado izquierdo siempre será uniforme, excepto cuando se $x = 0$, y en la parte derecha siempre será impar, sin importar el valor entero de $y$. (I. e. todos los positivos integral poderes de $2$ son uniformes, sino $4y+3 = 2\cdot 2 y + 2 + 1 = 2(2y+1) + 1$ debe ser impar, independientemente del valor de $y$.)

$(2)$ , A continuación, considere el caso $x = 0$: $\;2^0 = 1 \neq 4y+3 = 2(2y+1) + 1$, cualquiera que sea el entero valor de $y$.

$(3)$ Para enteros negativos, $x (x < 0):$ el lado izquierdo de la voluntad de no ser un número entero $\left(\text{e.g.,}\;\; 2^{-2} = \dfrac 14\right),\;$ , mientras que el lado derecho será siempre un número entero, independientemente del valor de entero $y$. Por tanto, la ecuación no tiene solución en números enteros, en este caso, tampoco.

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Y de ahí llegamos a la conclusión de que no hay entero soluciones para $x, y$ que satisface la ecuación: $$2^x = 4y + 3$$

Answer 2

es $2^x$ y $4 y+3$ es raro...