¿Podemos tomar como subconjunto denso la colección de todas las combinaciones lineales de los vectores de la base de Schauder utilizando los racionales como escalares (o los números complejos con partes reales e imaginarias racionales, para el caso)?
¿Qué podemos decir de lo contrario?
Para su primera pregunta:
Dejemos que $X$ sea un espacio normativo y $(e_i)$ sea una base de Schauder de $X$ (Supongamos que $||e_i||=1$ ). Consideremos el conjunto contable $$Q= \{ \sum\limits_{i=0}^n q_ie_i : n \in \mathbb{N}, q_i \in \mathbb{Q} \}$$ Dejemos que $\displaystyle x= \sum\limits_{i \geq 0} x_ie_i \in X$ y $\epsilon >0$ . Existe $n \geq 0$ tal que $\displaystyle \left\|x- \sum\limits_{i=0}^n x_ie_i \right\| \leq \epsilon$ y para $0 \leq i \leq n$ existe $q_i \in \mathbb{Q}$ tal que $\displaystyle |q_i-x_i| \leq \frac{\epsilon}{n+1}$ porque $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ . Entonces $\displaystyle y= \sum\limits_{i=0}^n q_ix_i \in Q$ y $$||x-y|| \leq ||x- \sum\limits_{i=0}^n x_ie_i||+ \sum\limits_{i=0}^n |x_i-q_i| \cdot ||e_i|| \leq 2 \epsilon$$ Si $X$ es un espacio normativo sobre $\mathbb{C}$ puede considerar $Q+iQ$ en lugar de $Q$ .
Para su segunda pregunta, lo contrario no es cierto; véase aquí . Sin embargo, Mazur dio un resultado parcial: Cualquier espacio de Banach de dimensión infinita tiene un subespacio que contiene una base de Schauder.
Sí, tienes la idea correcta.
Dejemos que $\mathbb K$ sea $\mathbb R$ o $\mathbb C$ según corresponda. Supongamos que el espacio de Banach $X$ tiene una base de Schauder $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ es decir, para cada $x \in X$ existe una única secuencia de escalares $\alpha_n \in \mathbb K$ tal que $$ x = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n x_n, $$ donde esta suma converge en la topología de la norma. Podemos renormalizar para que $\Vert x_n \Vert =1$ para todos $n$ .
Fijamos tal $x \in X$ y mostrar cómo aproximarlo mediante elementos de un conjunto contable. Dado $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb N$ tal que $$ \Vert x - \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n \Vert < \varepsilon / 2. $$
Para cada $\alpha_n \in \mathbb K$ podemos encontrar $\beta_n $ (en $\mathbb Q$ o $\mathbb Q + \mathbb Q i$ según corresponda) de manera que $| \alpha_n - \beta_n | < \varepsilon/ 2^{n+1}$ .
Entonces, por la desigualdad del triángulo, $$ \Vert x - \sum_{n=1}^N \beta_n x_n \Vert < \Vert x - \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n \Vert + \Vert \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n - \sum_{n=1}^N \beta_n x_n \Vert < \varepsilon/2 + \sum_{n=1}^N \varepsilon/2^{n+1} < \varepsilon. $$ Así, cada elemento de $X$ puede aproximarse mediante combinaciones lineales finitas de los elementos de la base de Schauder, donde los escalares provienen de $\mathbb Q$ o $\mathbb Q + \mathbb Q i$ según el caso.
En cuanto a su segunda pregunta: no, no todo espacio de Banach separable tiene una base de Schauder. Se trata de un problema de larga data en este campo, que fue resuelto por Per Enflo en 1972 (por lo que se le concedió un ¡ganso vivo! ).
Este resultado se puede encontrar en:
Enflo, Per (julio de 1973). "Un contraejemplo al problema de aproximación en espacios de Banach". Acta Mathematica 130 (1): 309-317. doi:10.1007/BF02392270
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