Primero de todo, quiero aclarar los términos. El significado natural de "diferentes" aquí no es isomorfo - no tiene nada que ver con los conjuntos de axiomas. Y voy a tomar "hyperreal número de sistema" para referirse a cualquier correcta primaria de la extensión de $\langle \mathbb{R}, +,\cdot,0,1,<\rangle$.
Es una consecuencia estándar de la integridad de la $\mathbb{R}$ que si $R^*$ ninguna primaria de la extensión de $\mathbb{R}$, entonces no es una parte estándar de mapa de $\text{st}\colon R^*\to \mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$, es decir, cada elemento de a $R^*$ que no es mayor que todos los elementos de a $\mathbb{R}$ o menos de todos los elementos de a $\mathbb{R}$ es infinitesimalmente cerca de un único elemento de $\mathbb{R}$. Por lo tanto, si $a\in R^*\setminus \mathbb{R}$, $a$ es "infinito", o $a - \text{st}(a)$ es "infinitesimal". Y el inverso multiplicativo de un infinito es el elemento infinitesimal y viceversa. El punto es que ninguna de primaria de la extensión de $\mathbb{R}$ no es de arquímedes, con el infinito y lo infinitesimal elementos, y que merece el nombre de "hyperreal número de sistema".
Ahora agrega a la lengua una constante símbolo $c_r$ todos los $r\in \mathbb{R}$, y deje $T = \text{Th}(\langle\mathbb{R},+,\cdot,<,\{c_r\}_{r\in\mathbb{R}}\rangle)$. Una escuela primaria de la extensión de $\mathbb{R}$ es la misma cosa (hasta el isomorfismo) como un modelo de $T$, por lo que si queremos contar hyperreal número de sistemas, solo tenemos que contar los modelos de $T$ (recordando a tirar el modelo estándar $\mathbb{R}$).
Por supuesto, como cualquiera de primer orden de la teoría con infinidad de modelos, $T$ tiene modelos de todos infinito cardinalidades mayor o igual que el tamaño de la lengua, por lo $T$ tiene una clase de modelos. Pero podemos hacer el más refinado de la cuestión "dado un cardenal $\kappa$, ¿cuántos modelos no $T$ tiene de tamaño $\kappa$?"
Ahora es el momento de llevar a cabo la demoledora: $T$ es un inestable completa de primer orden de teoría (esto significa que $T$ define un orden lineal en un conjunto infinito de elementos en un modelo para nuestro $T$, esto es obvio, ya que para cualquier modelo de $T$, todo el modelo es linealmente ordenado por $<$). Es una piedra angular resultado de Sela, la Clasificación de la Teoría de que si $T$ es inestable y $\kappa$ es un incontable cardinal mayor o igual que el tamaño de la lengua, $T$ $2^\kappa$ muchos modelos de tamaño $\kappa$ hasta el isomorfismo (algunos recuento muestra que este es el número máximo posible). Si usted desea obtener una idea de cómo este tipo de cosas se ha comprobado, la Sección 5.3 del Marcador del Modelo de la Teoría contiene una versión de este argumento.
Así, por ejemplo, hay $2^{2^{\aleph_0}}$-muchos hyperreal número de sistemas de tamaño $2^{\aleph_0}$.
