Probar que el elemento inversible sólo de cierta es $1$

Question

Que $(A, + ,\cdot)$ ser un anillo que no es un campo, que $x^2=x$ % todos inversible $ x \in A$. Prueba $x^2=x, \forall x \in A$

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El objetivo es demostrar que el elemento únicamente inversible es $1$.

Si $x$ es no invertible y no nulos, entonces $-x$ también es no invertible, por lo tanto $(-x)^2=-x$ y $2x=0$. También $(1+x)^2=1 + 2x + x^2=1 +x$ por lo tanto $1+x$ es no inversible (de lo contrario, de $(1 +x)^2=1 + x$se deduce, por tanto, $1 + x =1$ $x=0$ %).

No pude conseguir más que eso. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Fix $x\neq 0$ no es invertible. Tenemos que para cualquier $u$ invertible $ux$ no es invertible y que no sea cero, lo que implica $(ux)^2 = ux$$xux = x$.

Por otro lado, si $u\neq 1$ es invertible, entonces a $u-1$ debe ser invertible así: asumir el contrario, a continuación, $u = 1+y$ para los no-cero, no es invertible $y$, pero esta es una contradicción ya que se demostró que el $1+y$ es no invertible.

La combinación de los resultados de los dos párrafos, tenemos que para cualquier invertible $u\neq 1$ sostiene que $$x(u-1)x = x \implies xux - x^2 = x\implies x - x = x\implies x = 0,$$ a contradiction with our choice of $x$. Thus, $u = 1$ es el único elemento invertible del anillo.