Tema divergente de Madelung ' constante s

Question

Esta es una pregunta provocada por este post

La constante de Madelung se define el coeficiente de potencial electrostático de la energía en un cristal iónico. En el ejemplo de $NaCl$, \begin{equation} M = \sum_{ijk}{}^{'}\frac{(-1)^{i+j+k}}{\sqrt{i^2+j^2+k^2}} \end{equation} es condicionalmente convergente.

Desde esta suma es condicionalmente convergente no es adecuado como definición de la constante de Madelung, a menos que la orden de la suma es también especificado. Hay dos "obvio" que los métodos de suma de esta serie, por la expansión de los cubos o ampliación de las esferas. El último, aunque carece del significado de la interpretación física (no hay cristales esféricos) es bastante popular debido a su simplicidad. Por lo tanto, la siguiente expansión se encuentra a menudo en la literatura:[2] $$ M = -6 +12/ \sqrt{2} -8/ \sqrt{3} +6/2 - 24/ \sqrt{5} + \dotsb = -1.74756\dots. $$ Sin embargo, esto es incorrecto ya que esta serie diverge como fue demostrado por Emersleben en 1951.[3][4] La suma de más de la expansión de los cubos converge al valor correcto. Una clara definición matemática está dada por Borwein, Borwein y Taylor por medio de continuación analítica de una manera absolutamente convergente la serie.

Tengo las siguientes preguntas.

1) la Expansión de la esfera conduce a una divergente la serie. OK, lo que si me hacen un perfecto esférica muestra de $NaCl$, el medido experimentalmente la constante de Madelung para ser infinito?

(EDIT: yo tal vez haya algún malentendido acerca de la divergencia: podría darse el caso de que la serie es limitada, pero no tiene un límite definido. Así es la serie para la expansión de la esfera delimitada? y si no hay ningún límite definido, ¿cuál es el valor medido experimentalmente para un perfecto esférica de cristal?)

2) ¿Qué principio físico que dicta el orden de la suma? o ¿por qué número finito obtenidos por la continuación analítica debe ser coherente con el valor observado?

3) ¿Cuál es la función de carga neutralidad aquí? He programado para calcular la constante de Madelung el uso de la fracción de carga de la idea de((asignar $\frac{1}{8}$ a cargo de la esquina, $\frac{1}{4}$ hasta el borde, $\frac{1}{2}$ a la cara ), lo que hace que la expansión del cubo de carga neutra. ¿Significa eso que carga neutralidad es una de las condiciones que deben ser cumplidas? o es sólo por el bien de la eficiencia computacional?

Answer 1

Esto no es un riguroso respuesta a OP preguntas, como no hemos hecho ningún cálculo o estimación.

La constante de Madelung para el $NaCl$ cristal (de tamaño infinito) es formalmente la suma

$$\tag{1} \sum_{\vec{r}\in \mathbb{Z}^3\backslash\{\vec{0}\}}\frac{(-1)^{x+y+z}}{||\vec{r}||_2} .$$

Aquí la $p$-norma se define como

$$\tag{2} || \vec{r} ||_p ~:=~ \sqrt[p]{|x|^p+|y|^p+|z|^p}, \qquad || \vec{r} ||_{\infty}~:=~\max(|x|,|y|,|z|). $$

El procedimiento de forma arbitraria truncar la suma (1) después de completar un cubo o la bola de un tamaño determinado $a$ (posiblemente con una condición adicional de que sólo permite a las eléctricamente neutro tamaños de $a$) y, a continuación, dejar que el tamaño de la $a\to \infty$, es desde un punto de vista físico bastante crudo.

Tal truncamiento del método parece maduro para errores sistemáticos. Si tales truncamiento del método pasa a producir la respuesta correcta, se parece más a un accidente de un confiable método científico.

Intuitivamente, parece mejor introducir una suficientemente suave (o al menos continuo) regulador de la función $\eta:[0,\infty[\to [0,\infty[$ con

$$\tag{3} \eta(0)~=~1\qquad \text{and}\qquad \lim_{r\to\infty}\eta(r)~=~0,$$

el próximo considerar la suma

$$\tag{4} \sum_{\vec{r}\in \mathbb{Z}^3\backslash\{\vec{0}\}}\frac{(-1)^{x+y+z}}{||\vec{r}||_2}\eta( ||\vec{r}||_p ~\varepsilon), $$

y finalmente retirar el regulador $\varepsilon\searrow 0^{+}$.

En el espíritu de Terence Tao entrada en el blog, sería de esperar que la regularización de la suma (1) no dependen de la función del regulador $\eta$ (o $p\geq 1$ $p$- norma), una vez que la función del regulador $\eta$ pertenece a una lo suficientemente clase de niza, y que esa definición estaría de acuerdo con el (un poco de la onu-intuitivo) definición de Borwein, Borwein y Taylor a través de la continuación analítica.