¿Cuál es la mejor idea para esta integral? Sin necesidad de una solución completa, esto es opcional. Tengo curiosidad
sobre la idea central que te gustaría usar para hacer todo muy simple.
Calcular en forma cerrada
$$\int_0^{1} \frac{\displaystyle \arctan^2\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}}\right)}{x} \, dx$$
Preguntas complementarias:
$$a) \ \int_0^{1} \frac{\displaystyle \arctan^3\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}}\right)}{x} \, dx$$
$$b) \ \int_0^{1} \frac{\displaystyle \arctan^3\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}}\right)\log(x)}{x} \, dx.$$
Edición: Tal vez ayuda a escribir la forma cerrada que obtuvo para la primera integral, que es
$$\int_0^{1} \frac{\displaystyle \arctan^2\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}}\right)}{x} \, dx$$
$$=\frac{1}{216} \left(\sqrt{3} \pi \left(\psi ^{(1)}\left(\frac{1}{3}\right)-\psi ^{(1)}\left(\frac{2}{3}\right)+\psi ^{(1)}\left(\frac{1}{6}\right)-\psi ^{(1)}\left(\frac{5}{6}\right)\right)-144 \zeta (3)\right).$$
