Muestran que el valor de un integral definida es la unidad

Question

ps

Answer 1

Mostramos que $I=\int_2^4 \frac{f(x)}{f(x)+f(6-x)}\,dx$ es igual a $1$, donde $f(x)=\sqrt{\log(9-x)}$.

De la prueba. Haciendo una sustitución $y=6-x$, obtenemos %#% $ #%

Por lo tanto $$ \begin{align*}2I&=\int_2^4 \frac{f(x)}{f(x)+f(6-x)}dx+\int_2^4 \frac{f(6-y)}{f(y)+f(6-y)}dy\\ &=\int_2^4 \frac{f(x)}{f(x)+f(6-x)}dx+\int_2^4 \frac{f(6-x)}{f(x)+f(6-x)}dx=\int_2^4 1\,dx =2.\end{align*} $$

Ed. En la última parte, $$I=\int_4^2 -\frac{f(6-y)}{f(y)+f(6-y)}\,dy=\int_2^4 \frac{f(6-y)}{f(y)+f(6-y)}\,dy.$ es una variable dummy y $y$ o cualquier otra variable que se desea se puede cambiar.

Edit2. Si no te gusta la $x$ se utiliza, podría usar otra variable, decir $x$, así que con dos sustituciones $$\begin{align*}2I&=\int_2^4 \frac{f(x)}{f(x)+f(6-x)}dx+\int_2^4 \frac{f(6-y)}{f(y)+f(6-y)}dy\\ &=\int_2^4 \frac{f(s)}{f(s)+f(6-s)}ds+\int_2^4 \frac{f(6-s)}{f(s)+f(6-s)}ds=\int_2^4 1\,ds =2.\end{align*} $$

Answer 2

$ \int^a_b f(x)\,dx $ = $ \int^a_b f(a+b-x)\,dx $ Esto podemos probar cambiando la variable ficticia x a + b-x, obtenemos el integrando como $-f(a+b-x)\,dx$ y modificando en consecuencia los límites con $a+b-b$ y $a+b-a$, es decir, ahora la integral se convierte en $-\int^b_af(a+b-x)dx$ = $ \int^a_b f(a+b-x)dx $

La función dada en la pregunta satisface la propiedad que $f(x)+f(6-x)=1$. Deje que la integral a ser $I$ $2I= \int^a_b f(x)\,dx+ \int^a_b f(a+b-x)dx=\int^a_b f(x)+f(a+b-x)\,dx=\int^a_b\,dx=a-b$, en su caso $a-b=2$, por lo tanto el $2I=2$%. Así $I=1$.