Un funcional lineal $\omega:v\mapsto\omega(v)$ en un espacio vectorial de dimensión finita $X$ de dimensión $N$ con un producto interior $(·\ ,·)$ es un elemento del espacio vectorial dual $X'$ y un par de isomorfismos más tarde encontraré $$\omega(v)=(\omega,v).$$
Ahora el teorema de representación de Riesz para $L^p(\Omega)$ , $1\le p<\infty$ dice que para algunos $\omega\in L^p(\Omega)'$ hay un $u\in L^q(\Omega)$ con
$$\omega(v)=\int_\Omega u(x)v(x) \mathbb{d}x.$$
En segundo lugar, un endomorfismo continuo $A: v\mapsto A(v)$ de un espacio vectorial de dimensión finita puede representarse naturalmente mediante una matriz con $N^2$ coeficientes $A_n^{p}$ que actúa sobre los vectores como
$$(A(v))_n=\sum_{p=1}^NA_n^{p}v_p.$$
Mi pregunta ahora es si cada mapa lineal $A: f\mapsto A(f)$ sobre espacios de funciones puede representarse de forma similar a la operación de matrices, es decir, como
$$(A(f))(x) = \int_\Omega A(x,p)f(p) \mathbb{d}p,$$
aunque esto sólo sea cierto en un sentido distributivo.
Claramente $f(x) \mapsto \int A(x,p)f(p) \mathbb{d}p$ es un mapa lineal y además de los ejemplos regulares en los que $A(x,p)$ es en realidad una bonita función en sí misma (como para la transformación de Fourier con $A(x,p)=e^{\mathbb{i}xp}$ ), conozco distribuciones como la delta de Dirac $``A(x,p)=\delta(x-p)´´$ que, por ejemplo, representa la identidad $f(x) \mapsto \int \delta(x-p)f(p) \mathbb{d}p = f(x)$ . Pero, ¿lo consigo todo de esta manera? ¿Puedo escribir todos los operadores utilizando una integral que a priori recoge información de la función $f(x)$ en todo su dominio?
La cuestión surgió cuando pedí una representación "tipo matriz" de operadores lineales comunes como $$D\equiv\frac{\partial}{\partial x}: f(x)\mapsto f'(x).$$ Supongo $``D=-\delta'\ ´´$ funciona desde $$f(x)\mapsto(D(f))(x)=\int (-\delta'(x-p))f(p) \mathbb{d}p=\int \delta(x-p)f'(p) \mathbb{d}p=f'(x).$$ Pero, ¿existen siquiera representaciones integrales para, digamos, $\Delta=\sum_i\frac{\partial^i}{\partial x^i}$ ¿o incluso el operador de Laplace-Beltrami? ¿Quizá utilizando el anidamiento de distribuciones delta y funciones de coeficiente métrico? ¿Es esto posible, es útil en algún sentido, y hay operadores lineales más difíciles que eso? Y si no, ¿por qué? ¿Es ventajoso considerar así los operadores lineales en espacios de funciones?
