para un $3 \times 3$ matriz A ,valor de $ A^{50} $ es

Question

I f $$A= \begin{pmatrix}1& 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ entonces $ A^{50} $ es

1. $$ \begin{pmatrix}1& 0 & 0 \\ 50 & 1 & 0\\ 50 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

2. $$\begin{pmatrix}1& 0 & 0 \\ 48 & 1 & 0\\ 48 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

3. $$\begin{pmatrix}1& 0 & 0 \\ 25 & 1 & 0\\ 25 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

4. $$\begin{pmatrix}1& 0 & 0 \\ 24 & 1 & 0\\ 24 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

Estoy atascado en este problema. ¿Puede alguien ayudarme, por favor? ...............

Answer 1

Deberías aprender la respuesta de BenjaLim, que proporciona un método general para tratar este tipo de problemas. Sin embargo, aquí hay una respuesta simple sólo por diversión. Tenga en cuenta que $$ A^2= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&0&1\end{pmatrix} =I+\underbrace{\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 1&0&0\end{pmatrix}}_{L} $$ y $L^2=0$ . Por lo tanto, $$ A^{50} = (I+L)^{25} = I+{25\choose 1}L+\sum_{k=2}^{25}{25\choose k}L^k=I+25L $$ y por lo tanto la respuesta es 3.

Answer 2

La respuesta es 3. $$\begin{pmatrix}1& 0 & 0 \\ 25 & 1 & 0\\ 25 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Sólo hay que calcular $A^2$ , $A^3$ , $A^4$ y $A^5$ y entenderás el patrón repetido.