Cómo mostrar que topológicos, grupos son automáticamente hausdorff?

Question

En la página 146, Santiago Munkres' libro de texto de la Topología(2ed),

Mostrar que $G$(un grupo topológico) es Hausdorff. De hecho, muestran que si $x \neq y$, hay un barrio $V$ $e$ tal que $V \cdot x$ $V \cdot y$ son disjuntas.

Notablemente, la definición topológica de grupo en Munkres del libro de texto difiere de la de la wikipedia.

Un grupo topológico $G$ es un grupo que también es un espacio topológico satisfacción de las $T_1$ axioma, de tal manera que el mapa de $G \times G$ a $G$ envío de $x \times y$ a $x \cdot y$ y el mapa de $G$ a $G$ envío de $x$ a $x^{-1}$, son continuos los mapas.

Answer 1

Un espacio de $X$ es Hausdorff si y solo si la diagonal $\Delta_X\subseteq X\times X$ es cerrado. Considerar el mapa de $G\times G\rightarrow G$$(x,y)\mapsto xy^{-1}$. Es continua por los axiomas de un grupo topológico, y la diagonal es la inversa de la imagen de la identidad de $\{e\}$, que se cierra por supuesto. Por lo $G$ es Hausdorff si $\{e\}$ es cerrado, es decir, si $G$ $T_1$ (por la homogeneidad, $T_1$ $G$ es equivalente a $\{e\}$ ser cerrado).

Dado $x\neq y$ en un Hausdorff $G$, vamos a $U_x$ $U_y$ ser distinto, se abre alrededor de $x$$y$, respectivamente. Tanto en $U_xx^{-1}$ $U_yy^{-1}$ se abre en torno a $e$, por lo que podemos encontrar abra $V$$e\in V\subseteq U_xx^{-1}\cap U_yy^{-1}$. A continuación, $Vx$ $Vy$ son distintos barrios de $x$$y$, como se desee.

Answer 2

Un espacio topológico $G$ es hausdorff iff la diagonal en $G\times G$ es cerrado. Se puede ver cómo la diagonal es la imagen inversa de un conjunto cerrado en virtud de un mapa continuo?