¿Que es más grande: $(n!)^{n!}$ o $(n^{n})!$?

Question

Para ser honesto, no he pasado mucho tiempo pensando acerca de ese otro que el coche de vuelta a casa, y no voy a tener mucho tiempo para pensar acerca de esto por un tiempo, debido a mierda sucediendo. Así que pensé en preguntar aquí.

Edit: yo no entro en este sitio un montón, así que me disculpo si he formulado mi pregunta erróneamente. Y por encima de la irrelevante descripción estaba allí simplemente porque realmente no tengo mucho que añadir a lo que dice el título. Las etiquetas, pensé, eran casi todos apropiado, con algunos de ellos tienen que ver con los posibles métodos a ser utilizados para resolver tal cuestión.

Esta no es una tarea problema. Surgió de la idea de números muy grandes, algo que yo sé muy poco acerca de. Pensé, '¿Qué es realmente un gran número entero?' y se fue de allí en mi casa en coche.

Estaba pensando en eso $n!^{n!} \geq (n^{n})!$ debido a la gran exponente, pero es difícil de mostrar en este. Voy a comprobar los comentarios y ver lo que otras personas tienen que decir!

Answer 1

Para $n\ge 3$ tenemos $2\times n!<n^n<(2n)!$.

Esto implica $$n!^{n!}<(2\times n!)!<(n^n)!$$

para $n\ge 3$

Para demostrar $2\times n!<n^n$$n\ge 3$, verificamos que en el caso base $2\times 3!=12<27=3^3$. Si asumimos $2\times n!<n^n$, podemos concluir $2\times (n+1)!=2\times n!(n+1)<n^n(n+1)<(n+1)^{n+1}$, por lo que el izquierdo de la desigualdad es un hecho.

Por el derecho de la desigualdad, comprobamos $3^3=27<720=(2 \times 3)!$. Asumimos $n^n<(2n)!$. Entonces, tenemos $(2n+2)!>n^n\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)$ queda para mostrar $n^n(2n+1)(2n+2)>(n+1)^{n+1}$$n\ge 3$.

Esto es equivalente a $$(2n+1)(2n+2)>\left(n+1\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

y dividiendo por $n+1$ tenemos

$$2(2n+1)>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

El lado derecho está delimitada desde arriba por $3$ porque $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ es estrictamente creciente con límite de $e$, por lo que la desigualdad es obviamente cierto, completar la prueba.

Answer 2

Sugerencia:

El uso de una burda aproximación de Stirling y tomando logaritmos, se compara

$$\left(\frac ne\right)^nn(\ln(n)-1)\leftrightarrow n^n(n\ln(n)-1).$$

Esto parece favorecer $(n^n)!$

---

Prueba:

Por la monotonía del logaritmo, podemos relacionar la suma y la integral

$$\sum_{k=1}^{n-1}\ln(k)<\int_1^n\ln(x)dx<\sum_{k=1}^{n-1}\ln(k+1),$$

así que

$$\int_1^n\ln(x)dx<\sum_{k=1}^{n-1}\ln(k+1)<\int_1^{n+1}\ln(x)dx,$$ es decir,

$$n\ln(n)-n+1<\ln(n!)<(n+1)\ln(n+1)-n,$$ y $$e\left(\frac ne\right)^n<n!<e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}<4e\left(\frac ne\right)^{n+1}.$$ Tenemos una ajustada asintótica de horquillado, $n!=\Omega\left(\left(\dfrac ne\right)^n\right)$$n!=O\left(\left(\dfrac ne\right)^{n+1}\right)$, así como el $\ln(n!)=\Theta(n\ln(n))$.

Entonces

$$\ln\left((n!)^{n!}\right)=n!\ln(n!)=O\left(\left(\frac ne\right)^{n+1}n\ln(n)\right)$$

y

$$\ln\left((n^n)!\right)=\Omega\left(n^n\ln(n^n)\right)=\Omega\left(n^{n+1}\ln(n)\right).$$

Sin duda, habrá un $N$ tal que para todos los $n>N$

$$c_1\frac n{e^{n+1}}<c_2,$$ where $c_1$ and $c_2$ pertinentes asintótica constantes.

Answer 3

ADICIONAL RESPUESTA

Las siguientes tablas (calculado con PARI/GP) muestran la magnitud de $n!^{n!}$ (segunda columna) y $(n^n)!$ (tercera columna). La primera columna es $n$, en la segunda columna el número de dígitos de $n!^{n!}$ y la tercera columna el número de dígitos de $(n^n)!$

3   5   29
4   34   507
5   250   9567
6   2058   197573
7   18661   4514166
8   185695   113924438
9   2017527   3158983321
10   23804069   95657055187
11   303413813   3144427070248
12   4157895295   111592847474851
13   60989187252   4254477262880776
14   953766105164   173475072528668644
15   15844435971349   7534872752810675852
16   278704524938621   347382171305201285714
17   5175632136205088   16944641214352869652754
18   101198102131888304   871940428257085016434195
19   2078318050691940125   47209097179215950806612897
20   44731639502987747576   2682918580401091072661771949

Para hacer las magnitudes más aún, el número de dígitos de las entradas de la segunda y tercera columna de arriba se muestran.

3   1   2
4   2   3
5   3   4
6   4   6
7   5   7
8   6   9
9   7   10
10   8   11
11   9   13
12   10   15
13   11   16
14   12   18
15   14   19
16   15   21
17   16   23
18   18   24
19   19   26
20   20   28

Para $n=20$, podemos ver que $n!^{n!}$ es mucho menor que $(n^n)!$.

Answer 4

Que $p=n!$ y $q=n^{n}$,

\begin{align*} p &\sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^{n} \\ \ln p &\sim n\left( \ln n-1 \right)+\frac{1}{2}\ln n+\ln \sqrt{2\pi} \\ p\ln p &\sim n!\left[n\left( \ln n-1 \right)+\frac{1}{2}\ln n+\ln \sqrt{2\pi} \right] \\ q! &\sim \sqrt{2\pi q} \left( \frac{q}{e} \right)^{q} \\ \ln q! &\sim q\left( \ln q-1 \right)+\frac{1}{2}\ln q+\ln \sqrt{2\pi} \\ &= n^{n}\left( \ln n^{n}-1 \right)+ \frac{1}{2}\ln n^{n}+\ln \sqrt{2\pi} \\ &= n^{n}\left( n\ln n-1 \right)+ \frac{1}{2}n\ln n+\ln \sqrt{2\pi} \\ \ln q! - p\ln p &\sim \left( n^{n}-n! \right) (n\ln n)-n^n+n(n!)-\frac{1}{2}(n!-n)\ln n-(n!-1)\ln \sqrt{2\pi} \\ \ln \left[ \frac{(n^{n})!}{(n!)^{n!}} \right] &= O(n^{n+1}\ln n) \end{align*}