Si $\lambda$ es un valor propio de $A^2$ Entonces, o bien $\sqrt{\lambda}$ o $-\sqrt{\lambda}$ es un valor propio de $A$

Question

$A$ es un $n\times n$ matriz de números complejos. Demostrar que si $\lambda$ es un valor propio de $A^2,$ entonces $\sqrt{\lambda}$ o $-\sqrt{\lambda}$ es un valor propio de $A.$

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Si $\lambda$ es un valor propio de $A^2,$ tenemos $\lambda\alpha=A^2\alpha$ para algunos $\alpha.$ Entonces, ¿cómo podemos encontrar un $\beta$ s.t. $\sqrt{\lambda}\beta=A\beta?$

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que: $$A^2 - \lambda I = (A-\sqrt\lambda I)(A+\sqrt\lambda I)$$ Dejemos que $v$ sea un vector propio de $A^2$ con valor propio $\lambda$ . Podemos utilizar $v$ para encontrar un vector propio explícito de $A$ con un valor propio que es $\sqrt\lambda$ o $-\sqrt\lambda$ .

Desde $(A^2-\lambda I)v = 0$ debemos tener o bien $(A+\sqrt\lambda I)v = 0$ , en cuyo caso $v$ es también un vector propio de $A$ con valor propio $-\sqrt\lambda$ o $(A+\sqrt\lambda I)v \neq 0$ , en cuyo caso establecemos $ u:=(A+\sqrt\lambda I)v$ y observe que $u$ es un vector propio de $A$ con valor propio $\sqrt\lambda$ ya que $(A-\sqrt\lambda I)u=0$ .

Answer 2

Desde $\lambda$ es un valor propio de $A^2$ sabemos que $$\det (A^2 - \lambda I) = 0$$ De aquí concluimos que $$\det (A^2 - \lambda I) = \det((A - \sqrt{\lambda}I)(A + \sqrt{\lambda}I)) = \det(A - \sqrt{\lambda}I) \times\det ( A + \sqrt{\lambda}I)= 0$$ Por lo tanto, $\sqrt{\lambda}$ o $-\sqrt{\lambda}$ es un valor propio de $A$ .

Answer 3

De la descomposición de Jordan se deduce que si $v_{\lambda^2}$ es un vector propio de $A^2$ con valor propio $\lambda^2$ entonces es un vector propio de $A$ correspondiente al valor propio $\lambda$ resp. $-\lambda$ o una combinación $v_{\lambda}+v_{-\lambda}$ . Para verlo, basta con cuadrar el bloque Jordan $$ \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0\\ & \ldots & & & & \\ 0 & \ldots & & 0 & \lambda \end{pmatrix} $$ para obtener una matriz con valor propio $\lambda^2$ y sólo un vector propio $(1,0,\ldots, 0)$ .

Answer 4

Sugerencia: utilice la forma canónica Jordan de $A$ .