Órdenes de un grupo simétrico

Question

Consideremos el grupo simétrico $S_5$ . Me gustaría encontrar cuántos elementos de $S_5$ son de orden 5, y cuántos son de orden 6. También me gustaría determinar cuál sería el orden máximo de un elemento de este grupo.

Esto es lo que tengo hasta ahora: los elementos de orden 5 son los 5-ciclos. Los elementos de orden 6 (ya que un ciclo 6 es imposible para 5 elementos) deben tener al menos un ciclo par y un ciclo de longitud divisible por 3, y 2 + 3 = 5, por lo que los elementos de orden 5 son una combinación de 2 ciclos y 3 ciclos.

¿Cómo puedo encontrar el recuento total de tales elementos de orden 5 y de orden 6, y el orden máximo? No estoy del todo seguro de a dónde ir desde aquí.

Answer 1

Los posibles elementos de $S_5$ vienen dadas por las distintas particiones de $5$ . Por ejemplo, $(i_1i_2)(i_3i_4i_5)$ es un elemento de $S_5$ correspondiente a la partición $5=2+3$ .

Para contar el número de estos elementos, tenemos $5$ opciones para $i_1$ después de lo cual tenemos $4$ opciones para $i_2$ . A continuación, debemos dividir por $2$ porque $(i_1i_2) = (i_2i_1)$ . Por lo tanto, tenemos $(5)(4)/2 = 10$ posibilidades de $(i_1i_2)$ . Una vez que hayamos elegido $i_1$ y $i_2$ entonces tenemos $3$ opciones para $i_3$ 2 opciones para $i_4$ y una opción restante para $i_5$ dando $6$ posibilidades de $(i_3i_4i_5)$ . Sin embargo, observamos que, por ejemplo, $(345) = (534) = (453)$ (es decir, cada ciclo de tres da lugar a otros dos ciclos de tres equivalentes). Así pues, tenemos $6/3 = 2$ posibilidades de $(i_3i_4i_5)$ .

Esto da $$\frac{(5)(4)}{2}\cdot 2 = 20$$ posibilidades de elementos de la forma $(i_1i_2)(i_3i_4i_5)$ .

¿Puede generalizar esto para otros elementos del grupo?

Answer 2

John te tiene en la primera parte. Responderé a tu segunda pregunta.

Los hechos:

1. Cada elemento de $S_n$ puede escribirse como el producto de ciclos disjuntos.

2. El orden del producto de ciclos disjuntos es el mínimo común múltiplo de los órdenes de esos ciclos. En otras palabras, si $\pi=\pi_1\cdots\pi_n$ , $o(\pi)=\mbox{lcm}\{o(\pi_1),\ldots,o(\pi_n)\}$ .

Entonces, ¿cuál es el orden máximo de un elemento de $S_5$ ?

Al hacer un ciclo en $S_5$ Sólo tienes $5$ números con los que trabajar (en notación de ciclo). ¿De cuántas maneras se pueden hacer ciclos disjuntos utilizando sólo $5$ ¿números? ¿Cuál es la mayor $\text{lcm}$ ¿se puede encontrar este camino?

Ahora bien, ¿qué tal si $S_n$ ?

No hay una forma cerrada fácil para esto, pero seguro que has adivinado esta "fórmula": es el máximo $\text{lcm}$ alcanzable a partir de las particiones enteras de $n$ . Esto se llama Función de Landau .

Answer 3

Como se ha propuesto cerrar una pregunta similar como duplicado de ésta, derivaré el número de permutaciones correspondientes a un tipo de ciclo dado con más generalidad.

Consideremos una estructura de ciclo con $j_k$ ciclos de longitud $k$ con $\sum_kkj_k=n$ e imagina que se escribe como pares de paréntesis que encierran un número adecuado de ranuras. Cada uno de los $n!$ asignaciones de los números de $1$ a $n$ a las ranuras produce una permutación, y queremos saber cuántas son distintas.

Dentro de cada ciclo de duración $k$ Hay $k$ permutaciones cíclicas de las entradas que darían lugar al mismo ciclo. En $j_k$ ciclos de longitud $k$ Hay $j_k!$ permutaciones que se limitan a reordenar los ciclos de la misma longitud. Así, $\prod_kk^{j_k}j_k!$ asignaciones conducen a la misma permutación, por lo que el número de permutaciones distintas es

$$\frac{n!}{\prod_kk^{j_k}j_k!}\;.$$

Ver también esta sección de Wikipedia .