Límite de $x\log x\cdot f(x)$ $f$ haya función integrable

Question

Supongamos que $f\in L^1(0,+\infty)$ es una monótona decreciente, función positiva. Demostrar que $\lim_{x \to +\infty}x(\log x)\cdot f(x)=0.$

Answer 1

La afirmación no es verdadera. Considere la posibilidad de $$ f_0=\sum\limits_{n\geqslant1}(n^2\mathrm e^{n^2})^{-1}\mathbf 1_{[0,\mathrm e^{n^2}]}, $$ a continuación, $f_0$ es nonincreasing, $g_0(x)=f_0(x)x\log(x)$ no converge a cero cuando se $x\to\infty$ desde $g_0(\mathrm e^{n^2})=1$ por cada $n\geqslant1$, y la integral de $f_0$$\sum\limits_{n\geqslant1}n^{-2}$, que es finito, por lo tanto $f_0$ es integrable.

Uno puede modificar este ejemplo un poco para conseguir una disminución de la función $f$, por ejemplo $$ f(x)=\sum\limits_{n\geqslant1}(n^2\mathrm e^{n^2})^{-1}\exp(-x\mathrm e^{n^2})\mathbf 1_{[0,\mathrm e^{n^2}]}(x). $$ A continuación, $f$ está disminuyendo, $g(x)=f(x)x\log(x)$ no converge a cero cuando se $x\to\infty$ desde $g(\mathrm e^{n^2})=\mathrm e^{-1}$ por cada $n\geqslant1$, e $f\leqslant f_0$ por lo tanto $f$ es integrable.

Answer 2

Creo que no es cierto, por ejemplo $f(x)=1/x$

y tenemos

$\lim_{x\rightarrow 0}xln(x)(1/x)=+\infty$

Answer 3

Edición: Este argumento supone que el límite existe, que no deben ocurrir.

Un cambio de variables da, $a>1$, $$ \int_{a}^{\infty} \frac{dx}{xln(x)} = \int_{\ln(a)} ^ {\infty} \frac{du}{u} = \infty $$ si el límite no era cero, lo llaman $L$ (que admite $L=\infty$), obtendríamos, para #% (con $x>a$ suficientemente grande) de $a$% #% si $f(x)\geq \frac{L}{2} \frac{1}{x\ln(x)}$ es finito y $L$ si es infinita. De cualquier manera contradice la integrabilidad de $f(x)\geq \frac{1}{x\ln(x)}$ por la observación inicial.