¿Por qué $\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{(n-k)!n^k}$ igual 1

Question

Encontré esto en mi libro de matemáticas.

$$\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{(n-k)!n^k} = 1$$

¿Por qué es así?

Answer 1

$$\frac{(n!)}{(n-k)!n^k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots\{n-(k-1)\}}{n^k}=\prod_{0\le r\le k-1}\left(1-\frac rn\right)$$

Answer 2

Una interpretación probabilística (no rigurosa): Hay bolas de $n$ diferentes colores, de los cuales elegimos $k$ . La probabilidad de que elijamos $k$ bolas de diferentes colores es $$\frac{n(n-1)\dots(n-(k-1))}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)!n^k}.$$ Es intuitivo que a medida que aumenta el número de colores, esta probabilidad pasa a $1$ .