¿Puedo aproximado de seno y coseno sin derivados?

Question

¿Suponiendo que no sé que serie de Taylor (y derivados) puedo gestionar aproximar el seno y coseno de un genérico dado (racional) ángulo en radianes?

Answer 1

Yo sólo uso las cosas que son conocidos en la trigonometría básica, es decir, la fundamental identidad trigonométrica ($\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$), el de seno/coseno de la suma o diferencia de dos ángulos, los valores usuales en $0$, $\pi/4$ y $\pi/2$ y las fórmulas de la mitad del ángulo que se puede deducir de las fórmulas anteriores.

En primer lugar, imaginar el que queremos calcular el seno o el coseno del ángulo de $\alpha$. Después de una traducción realizada por un entero múltiplo de $\pi$, algo de la forma$k\pi$$k\in\mathbb{Z}$, puedo asumir que $\alpha$ $[-\pi/2,\pi/2]$ debido a que el "antipreiodicity" de seno y el coseno de un período de $\pi$, debido a $$\cos(x+k\pi)=(-1)^k\cos(x)\text{ and }\sin(x+k\pi)=(-1)^k\sin(x)\text{.}$$ Y aquí, después de usar la simetría del coseno o antisimmetry de la sinusoidal, es decir,$\cos(-x)=\cos(x)$$\sin(-x)=-\sin(x)$; podemos, por otra parte, supongamos que el $\alpha\in[0,\pi/2]$.

En segundo lugar, sabemos que para $x,y\in[0,\pi/2]$ si $x\leq y$, luego $$\cos(x)\geq \cos(y)\text{ and }\sin(x)\leq \sin(y)\text{.}$$ Para esto, recuerde que $$\cos(y)-\cos(x)=-2\sin\left(\frac{y-x}{2}\right)\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq 0$$ y $$\sin(y)-\sin(x)=2\sin\left(\frac{y-x}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\geq 0\text{.}$$ Sólo hemos de utilizar la fórmula del seno/coseno de la suma/diferencia de dos ángulos y el hecho de que el seno y el coseno para ángulos en $[0,\pi/2]$ son no-negativos.

La tercera parte de todos, recuerda que para $\alpha\in[0\pi/2]$, $$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+cos(2\alpha)}{2}}\text{ and }\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-cos(2\alpha)}{2}}\text{.}$$ Por lo tanto, podemos calcular de forma recursiva $$c_n=\cos\left(\frac{\pi}{2^n}\right)\text{ and }s_n=\sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right)\text{,}$$ el uso de las fórmulas $$c_{n+1}=\sqrt{\frac{1+c_n}{2}}\text{ and }s_{n+1}=\sqrt{\frac{1-c_n}{2}}\text{.}$$

Por último, dada la $\alpha\in [0,\pi/2]$, se expresa en $$\alpha=\sum_{n=1}^\infty a_n\frac{\pi}{2^n}$$ con $a_n\in\{0,1\}$, mediante el binario de expansión de $\alpha/\pi$, y, a continuación, tendrá para todos los $m$ que $$\cos\left(\sum_{n=1}^m a_n\frac{\pi}{2^n}+\frac{\pi}{2^{m}}\right) \leq\cos(\alpha)\leq \cos\left(\sum_{n=1}^m a_n\frac{\pi}{2^n}\right)$$ y $$\sin\left(\sum_{n=1}^m a_n\frac{\pi}{2^n}\right)\leq \sin(\alpha)\leq \sin\left(\sum_{n=1}^m a_n\frac{\pi}{2^n}+\frac{\pi}{2^{m}}\right)\text{.}$$ Usted puede comprobar fácilmente que la LHS y RHS en el tanto la expresión se puede calcular como polinomios en la $c_n$ $s_n$ aplicando la fórmula del seno/coseno de la suma de dos ángulos.

Answer 2

Sí. Serie de Taylor son sólo una forma de construir un polinomio de aproximación de una función. Hay muchas otras maneras; por ejemplo, podría utilizar un polinomio de Lagrange. La construcción de este polinomio no requiere ningún conocimiento de los instrumentos derivados.

Como un aparte ... en series de Taylor de aproximaciones no son muy buenas en muchas situaciones. Son muy buena, cerca de un único punto, y empiezan a empeorar a medida que se aleja de este punto. Cuando la construcción de una aproximación de seno o coseno funciones, usted probablemente querrá algo que es uniformemente bueno a lo largo de algunos todo el intervalo de interés. Una de Lagrange polinomio usando nodos de Chebyshev es fácil de calcular, y bastante bueno (aunque no óptima).

Answer 3

Usted podría utilizar

$$\cos(\frac{\pi}2) = 0$$

$$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$$

y la mitad de ángulo fórmulas (para $0 \le \alpha \le \frac{\pi}2$)

$$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac12(1 + \cos{\alpha})}$$

$$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac12 (1 - \cos \alpha)}$$

y el ángulo de la suma de las fórmulas de

$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$

$$ \sin(\alpha + \beta) = \cos \alpha \sin \beta + \cos \beta \sin \alpha$$

a la aproximación de cualquier pecado y el valor de cos a cualquier precisión. Calcular su ángulo como $\dfrac{k \pi}{2^j}$, luego rompe en suma de un montón de diádica fracciones ($\frac{\pi}2$, $\frac{\pi}4$, $\frac{\pi}8$, etc.), calcular todos los $\sin$ $\cos$ valores en el medio ángulo fórmulas, a continuación, determinar el $\sin$ $\cos$ de su suma de dyadics el uso de la suma de ángulos fórmulas.