El campo más pequeño que contiene $\sqrt[3]{2}$

Question

Alguien podría explicar cómo construir el campo más pequeño que contiene a $\sqrt[3]{2}$.

Answer 1

Consideremos el conjunto a $ F $ de las expresiones de la forma $$ \left\{ a + b \cdot \sqrt[3]{2} + c \cdot \left( \sqrt[3]{2} \right)^{2} \,\Big|\, (a,b,c) \in \mathbb{Q}^{3} \right\}. $$ Este es el menor subcuerpo de $ \mathbb{R} $ contiene $ \mathbb{Q} $$ \sqrt[3]{2} $.

Claramente, $ \mathbb{Q} \cup \{ \sqrt[3]{2} \} \subseteq F $. Siguiente, se observa que la $ F $ es cerrado bajo la suma y la multiplicación. El único no-trivial cosa que necesita ser verificado es que cada elemento no nulo de a $ F $ tiene un inverso multiplicativo en $ F $. Después de haber establecido que el $ F $ es un campo, el aviso de que contiene, precisamente, todos los números que debe ser en cualquier subcampo de $ \mathbb{R} $ contiene $ \mathbb{Q} $$ \sqrt[3]{2} $. Esto demuestra que $ F $ es el menor subcuerpo de $ \mathbb{R} $ con dicha propiedad.

Observe que $ F $ es un espacio vectorial de dimensión$ 3 $$ \mathbb{Q} $, lo que concuerda muy bien con el hecho de que el grado del polinomio mínimo de a $ \sqrt[3]{2} $ $ \mathbb{Q} $ $ 3 $ (el mínimo polinomio es $ X^{3} - 2 $).

Answer 2

Haskell Curry dio una definición interna, pero también podemos definir este campo externamente:

$$F=\bigcap\{K\mid\Bbb Q\subseteq K, K\text{ is a field}, \sqrt[3]2\in K\}$$

Es decir, $F$ es la intersección de todos los campos que se extienden $\Bbb Q$ y contener $\sqrt[3]2$. Sabemos que esta colección no vacía, debido a que $\Bbb R$ es en esta colección.

Ahora debemos demostrar que $F$ es un campo, y que se extiende $\Bbb Q$$\sqrt[3]2\in F$. Las dos últimas son las cosas más simples. Cada número racional, como bien $\sqrt[3]2$ $K$ por cada $K$ en la colección que se cruzaba. Por lo tanto,$\sqrt[3]2\in F$$\Bbb Q\subseteq F$.

A ver que $F$ es un campo vemos que si $x,y\in F$ $x,y\in K$ todos los $K$ en la colección, y por lo tanto $x+y,x\cdot y\in K$ (para todos los $K$) y, por tanto, $F$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación, y el mismo argumento muestra que el inverso aditivo y multiplicativo inversa para los no-cero elementos también existen en $F$.

Por lo tanto, $F$ es un campo y se extiende a los racionales y contener $\sqrt[3]2$. A ver que es de un mínimo de observar si $K$ está en la colección, a continuación,$F\subseteq K$, por definición, de la intersección. Por lo tanto, la minimality está asegurado.

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Tenga en cuenta que esta construcción no específicamente dependen $\Bbb Q$, y podemos reemplazarlo con un campo arbitrario de nuestro agrado como la "base" de campo. Si $\sqrt[3]2$ ya está en ese campo base, a continuación, la construcción no va a añadir nuevos elementos, por razones obvias.

Answer 3

Si el campo base es $F=Z_2$ ya tenemos la raíz cúbica de 2, que es 0. Si $F=Z_3$ y $F$ ya contiene una raíz cúbica de 2, es decir, la raíz cúbica de -1, es decir, -1; Si queremos que las otras raíces cúbicas de 2, entonces el campo $F(2^{1/3})=F[2^{1/3}]=\{a+b\cdot 2^{1/3}\}$ tiene 9 elementos.