Encontrar todas las soluciones positivas tales que $n^2 + 9n +1$ sea un cuadrado perfecto

Question

Mi intento

$n^2 + 9n +1$ obviamente no es un cuadrado perfecto cuando está entre cuadrados consecutivos, es decir: $n^2 + 8n +16 < n^2 + 9n +1

La segunda desigualdad siempre es cierta. Al resolver la primera desigualdad, vemos que no es cierta cuando $n \le 15$. Así que revisamos los posibles valores menores a 16. Al trabajar módulo 3, obtenemos que $n$ debe ser múltiplo de $3$. Entonces los posibles candidatos son $3,6,9,12$ y $15$. Al hacer el cálculo, vemos que $n=15$ es la única solución.

Me pregunto si hay algún otro método más corto, o métodos que suelen utilizarse, como tomar el discriminante de la expresión o mediante aritmética modular. Intenté el primer método y demostré que hay un $n$ entero cuando $ \sqrt {77+4c}$ es entero (donde $c= n^2 + 9n +1$). Funciona módulo 4, pero no pude continuar. No estoy seguro de si la aritmética modular funcionaría, ya que 15 es la única solución, pero me gustaría saber si hay algún otro método, incluso si es razonablemente más largo que el mío. Gracias de antemano.

Answer 1

Sabemos que:

$$ (n+1)^2 = n^2 + 2n +1 < n^2 + 9n +1 < n^2 + 10n + 25 = (n+5)^2 $$

Entonces solo hay 3 casos:

$$ n^2 + 9n + 1 = (n+i)^2 , i \in \{2, 3, 4\} $$

Resolviendo cada caso por separado, obtenemos respectivamente para i = 2, 3, 4:

$$ 5n = 3 $$ $$ 3n = 8 $$ $$ 1n = 15 $$

Answer 2

La forma habitual de resolver estas preguntas es como lo has hecho: acotar la expresión entre dos cuadrados perfectos consecutivos, y demostrar que los límites son estrictos para valores grandes de $ n $.

La razón por la que no se debería esperar una solución utilizando aritmética modular es que es demasiado "corta vista": la cuestión de si un número es un cuadrado perfecto o no depende de la multiplicidad exacta de los primos que lo dividen, mientras que la aritmética modular solo proporciona límites superior e inferior. Esto sugiere que nuestra solución debe depender de un enfoque global.

Aquí tienes una solución alternativa. Podemos escribir (completando el cuadrado):

$$ \left( n + \frac{9}{2} \right)^2 - x^2 = \frac{77}{4} $$

$$ (2n + 9)^2 - (2x)^2 = 77 $$

$$ (2n - 2x + 9)(2n + 2x + 9) = 77 $$

Ahora, simplemente verificamos todos los factores de $ 77 $ para ver si proporcionan soluciones. Las hipótesis dadas significan que solo debemos verificar dos casos: $ 2n + 2x + 9 = 11, 77 $, y este último da una solución.

Answer 3

Soluciones solo para $n=0$ y $n=15$.

Claramente, $n=0$ produce un cuadrado perfecto. Digamos ahora que $n>0$ y $$n^2+9n+1=k^2,$$ para algún $k\ge 1$. Entonces $(k+1)(k-1)=n(n+9)>n(n+2)$. Así que $k-1>n$. Sea $k-1=n+v$, donde $v$ es un entero positivo. Entonces $$ (n+v+2)(n+v)=n(n+9), $$ y por lo tanto $$ n(7-2v)=v^2+2v. $$ Por lo tanto, si tal $v$ existe, solo puede ser $v\in\{1,2,3\}$. Los casos $v=1,2$ conducen a contradicción. De hecho, para $v=1$, tenemos $5n=3$, y para $n=2$, tenemos $3n=8$.

Mientras tanto, para $v=3$, tenemos $$ n=15, $$ para el cual $n^2+9n+1=361=19^2$.

Answer 4

Queremos resolver $$m^2=n^2+9n+1$$ sobre los enteros.

Multiplicando por $4$ tenemos

$$4m^2=4n^2+36n+4=(2n+9)^2-77$$

Entonces, tenemos $$(2m-2n-9)\cdot (2m+2n+9)=-77$$

Para cada par de enteros $(a,b)$ con $ab=-77$ resolver el sistema de ecuaciones

$$2m-2n-9=a$$

$$2m+2n+9=b$$

(sumando las dos ecuaciones se muestra que la solución siempre es única) y verificar si $m$ y $n$ son enteros y $n$ es positivo.