Existencia de soluciones de primer orden ODE

Question

El teorema fundamental de la autónoma ODA dice que si $V:\Bbb R^n\to\Bbb R^n$ es un buen mapa, entonces el problema de valor inicial $$ \begin{aligned} \dot{y}^i(t) &= V^i(y^1(t),\ldots,y^n(t)),&i=1,\ldots,n \\ y^i(t_0) &= c^i, &i=1,\ldots,n \end{aligned}\etiqueta{1} $$ para $t_0\in\Bbb R$ $c=(c^1,\ldots,c^n)\in\Bbb R^n$ tiene las siguientes existencia de la propiedad:

Existencia: Para cualquier $t_0\in\Bbb R$$x_0\in\Bbb R^n$, existe un intervalo abierto $J$ contiene $t_0$ y un subconjunto $U$ contiene $x_0$ tal que para cada una de las $c\in U$, no es un buen mapa de $y:J\to\Bbb R^n$ que resuelve $(1)$.

Ahora, aquí está mi pregunta:

Pregunta: Supongamos que ya sabemos que existe una solución con valor inicial $y(t_0)=x_0$ en un intervalo de $J_0$ contiene $t_0$. ¿El intervalo de $J$ por encima se puede asumir que contienen $J_0$?

A priori, no es de señalar que nos dice que en el enunciado del teorema. Mi pregunta puede reformularse de la siguiente manera.

La reformulación de la Pregunta: Vamos a $y:J\to\Bbb R^n$ ser una solución suave de $(1)$ con valor inicial $y(t_0)=x_0$. Existe un conjunto abierto $U$ contiene $x_0$ tal que para todos los $c\in U$ hay una solución suave de $z:J\to\Bbb R^n$ $(1)$con valor inicial $z(t_0)=c$?

Edit: Y lo que sobre el caso donde $J$ es un intervalo compacto?

Answer 1

La respuesta a la reformulación es negativa. Considerar el problema\begin{equation} \begin{cases} y'=y^2 \\ y(0)=c \end{casos} \end{equation} su solución es $y(t)=\frac{1}{c^{-1}-t}$ y se define en $J_c=(-\infty, c^{-1})$. Así, por ejemplo, la solución con dato inicial $c=1$ se define en $(-\infty, 1)$ mientras la solución con dato inicial $1+\epsilon$ se define en un intervalo terminantemente más pequeño, no importa cuán pequeño $\epsilon$ es.