$21$ jugadores están parados en el círculo. Cada jugador elige el objetivo para el disparo - otro jugador. Nadie puede disparar ellos mismos o en el aire.
¿Lo que la probabilidad de que al menos hay $2$ jugadores que han tenido como objetivo el uno al otro?
La solución es
$$1+\sum_{s=1}^{\lfloor n/1 \rfloor}(-1)^s\frac{n!}{2^ss!(n-2s)!(n-1)^{2s}}$$
$n=21$
El problema se explica en
http://msor.Victoria.AC.nz/twiki/pub/Courses/MATH214_2009T1/Enumeration/214_2009_notes3.pdf
Mira la página 20, donde se llama Zen.
Los créditos van para el pueblo de www.wiskundeforum.nl (un foro de matemáticas holandés).
El problema se reduce a contar las permutaciones de $n=21$ elementos que no tienen ningún punto fijo (estos son los legales configuraciones, ya que nadie puede aspirar a sí mismos), y contando cuántos de estos no tienen $2$-ciclo. Cada uno de estos números puede ser calculado por medio de una simple repetición.
En primer lugar, considere la posibilidad de permutaciones de $n$ elementos sin punto fijo (es decir, alteraciones). Deje $A_{n}$ el número de alteraciones de orden $n$. Cada trastorno de $n-1$ elementos pueden ser utilizados para producir $n-1$ distintas alteraciones de $n$ elementos, mediante la inserción (en el ciclo de la representación), el $n$-ésimo elemento en cualquiera de $n-1$ ubicaciones. Además, cada permutación de $n-1$ elementos con exactamente un punto fijo puede ser utilizado para producir una única alteración de $n$ elementos (por la vinculación de un nuevo elemento con el actual punto fijo). Pero el número de permutaciones de $n$ elementos con exactamente un punto fijo es sólo $nA_{n-1}$: se debe elegir el punto fijo, luego formar una alteración de los elementos restantes. El resultado es $$ \begin{eqnarray} A_{n} &=& (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} \\ &=& (n-1)\left(A_{n-1} + A_{n-2}\right), \end{eqnarray} $$ donde $A_{0}=1$. Esta secuencia se inicia con $1,0,1,2,9,44,265...$ (OEIS:A000166) y $A_{21}=18795307255050944540 \approx (21!)/e$.
El mismo razonamiento puede ser utilizado para el conteo de permutaciones sin puntos fijos o $2$-ciclos. Deje $B_{n}$ el número de estos de orden $n$. De nuevo, podemos producir $n-1$ tales permutaciones de orden $n$ de cada una de orden $n-1$; y podemos también producir $2$ tales permutaciones de orden $n$ de cada permutación de orden $n-1$ con exactamente un $2$-ciclo (y no hay puntos fijos). El número de permutaciones de $n$ elementos sin puntos fijos, y exactamente un $2$-el ciclo de es $\frac{1}{2}n(n-1)B_{n-2}$: se debe elegir el par que participan en el $2$-ciclo, a continuación, permutar los elementos restantes con el no $2$-ciclos o puntos fijos. El resultado aquí es $$ \begin{eqnarray} B_{n} &=& (n-1)B_{n-1} + (n-1)(n-2)B_{n-3} \\ &=& (n-1)\left(B_{n-1} + \left(n-2\right)B_{n-3}\right), \end{eqnarray} $$ donde $B_0=1$. Esta secuencia se inicia con $1,0,0,2,6,24,160,1140,...$ (OEIS:A038205), y $B_{21}=11399930109077490560\approx A_{21}/\sqrt{e} \approx (21!)/e^{3/2}$.
La probabilidad de que dos jugadores están apuntando a cada uno de los otros es, por tanto, $$ \frac{B_{21}}{A_{21}} \approx \frac{1}{\sqrt{e}} = 0.60653..., $$ como es por todos razonablemente grandes,$n$.
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