Ecuación funcional $f(xy) = f'(x)f(y)$ ¿lo estoy haciendo bien?

Question

Así que quiero encontrar todas las funciones $f : \mathbb R \to \mathbb R$ para que:

$$f(xy) = f'(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb R$$

Mi intento : $y=1$ da: $f(x) = f'(x)f(1)$ o $f'(x) = \frac{f(x)}{f(1)}$

$$f(x) = e^{\frac{x}{f(1)}}$$

donde $f(1)$ debe cumplir $$f(1) = e^{\frac 1 {f(1)}}$$

Podemos concluir $f(1)>0$ y como $\cases{1/x & \text{is monotonic decaying}\\ e^x &\text{is monotonic increasing}}$

Por lo tanto, debe existir uno y sólo tal $f(1) \in \mathbb R$ .

¿Tiene esto sentido?

Answer 1

Desde $f(x)=f'(x)f(1)$ Considera que $f(1)=0$ antes de empezar a dividir por él. Si $f(1)=0$ entonces $f(x)=0$ . Supongamos que no lo es: entonces, efectivamente, tenemos (para $c=\tfrac1{f(1)}$ )

$$f'(x)=cf(x)$$

que es una ecuación diferencial ampliamente conocida con la solución general

$$f(x)=Ke^{cx}$$

Ahora a encontrar $c=\tfrac1{f(1)}$ simplemente sustituye $f(x)=Ke^{cx}$ en la ecuación original para ver

$$Ke^{cxy} = cKe^{cx}\cdot Ke^{cy}$$

suponiendo que $K\neq 0$ (que sería $f(x)=0$ ), y la fijación de $y=0$ vemos $1 = cKe^{cx}$ para todos $x$ Esto es imposible. Por lo tanto, $f(x)=0$ es la única opción.

Answer 2

Elegir $x=0$ se obtiene $f(0) = f'(0) f(y)$ por cada $y\in\mathbb{R}$ .

Si $f'(0)\neq 0$ entonces $f$ es constante. En consecuencia, $f'(x) = 0$ por cada $x\in \mathbb{R}$ para que la elección de $y=1$ en la relación se obtiene $f(x) = 0$ por cada $x\in\mathbb{R}$ .

Si $f'(0) = 0$ entonces por la relación anterior también $f(0) = 0$ . Elección de $y=1$ se obtiene $f(x) = f'(x) f(1)$ . Si $f(1) = 0$ entonces $f(x) = 0$ por cada $x$ . En caso contrario, si $f(1) \neq 0$ , entonces se obtiene $f(x) = c e^{x/f(1)}$ pero $c=0$ desde $f(0) = 0$ .