Quiero demostrar que $\sum_{n=1}^\infty {\frac{a^n}{1+a^n}} $ converge o diverge.

Question

Quiero demostrar que $$\sum_{n=1}^\infty {\frac{a^n}{1+a^n}} $$ converge o diverge.

Mi opinión es que dependerá en gran medida del valor de $a$ . Así que vería los diversos casos de lo que $a$ podría ser.

• $a=0$ entonces su $\frac{0}{1}$ que converge absolutamente a $0$ .

Pero no estoy seguro en otros casos. Creo que los otros casos serían:

• $0<a<1$
• $-1<a<0$
• $a>1$
• $a<-1$

¿Hay alguna manera más fácil de hacerlo? Si no, ¿cómo sería para los otros casos?

Answer 1

Intenta utilizar la prueba de divergencia:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{1 + a^n} \stackrel{LHR}{=} \lim_{n \to \infty} \frac{a^n \ln a}{a^n \ln a} = 1$$

para los valores de $a$ donde la expresión $\frac{a^n \ln a}{a^n \ln a}$ se define como $a > 0$

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Para $a=0$ Lo has hecho.

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Para $a < 0$ No podemos usar LHR, pero...

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{1 + a^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n(-a)^n}{1 + (-1)^n (-a)^n} $$

Ahora, $\lim_{n \to \infty} (-1)^n$ no existe. Por lo tanto, $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{1 + a^n}$ dne.

Answer 2

Dejemos que $a$ sea un número real. La serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n}}{1 + a^{n}} $$ converge (absolutamente) si y sólo si $|a| < 1$ .

Caso 1 : Si $|a| < 1$ la serie geométrica $$ \sum_{n=1}^{\infty} |a|^{n} $$ converge. La desigualdad del triángulo invertido, y el hecho de que $|a|^{n} < 1$ para todos $n \geq 1$ , dar $$ \left|\frac{a^{n}}{1 + a^{n}}\right| = \frac{|a|^{n}}{|1 + a^{n}|} \leq \frac{|a|^{n}}{1 - |a|^{n}}. \tag{1} $$ Desde $|a|^{n} \to 0$ , $$ \lim_{n \to \infty} \left|\frac{1}{|a|^{n}} \cdot \frac{|a|^{n}}{1 - |a|^{n}}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - |a|^{n}} = 1. $$ En consecuencia, la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|a|^{n}}{1 - |a|^{n}} $$ converge por comparación de límites con la serie geométrica. Finalmente, por (1) y comparación ordinaria, $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n}}{1 + a^{n}} $$ converge absolutamente.

Caso 2 : Si $1 < |a|$ entonces $|a|^{n} \to \infty$ . La desigualdad del triángulo da $$ \left|\frac{a^{n}}{1 + a^{n}}\right| = \frac{|a|^{n}}{|1 + a^{n}|} \geq \frac{|a|^{n}}{1 + |a|^{n}} \to 1, $$ por lo que la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n}}{1 + a^{n}} $$ diverge porque sus términos no se aproximan  $0$ .

Caso 3 : Si $a = 1$ los términos son todos  $1/2$ ; si $a = -1$ Los términos del grado impar no están definidos. En cualquier caso, la serie diverge.

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Los mismos argumentos manejan los complejos $a$ con un poco de trabajo adicional; sólo hay que tener en cuenta que si $|a| = 1$ y $a \neq \pm 1$ entonces $$ \left|\frac{a^{n}}{1 + a^{n}}\right| = \left|\frac{1}{1 + a^{n}}\right| \geq \frac{1}{2} $$ no converge a  $0$ Así que la serie es divergente.

Answer 3

$0< a<1$ : compárese con $\sum a^n $ . Recordemos que $\sum_0^{N-1} a^n = \frac{1-a^N}{1-a}$

$a> 1$ Nota: hay que tener en cuenta que $\frac{a^n}{1+a^n}\rightarrow 1$ como $n$ crece.

$a=1$ entonces $\frac{a^n}{1+a^n}= \frac{1}{2}$

Answer 4

Si $a>1 $ $$\lim_{n\to +\infty}{\frac{a^n}{1+a^n}}=1$$ por lo que la serie es divergente. Mientras que si $-1<a<1$ $${\frac{a^n}{1+a^n}}\sim_{\infty}{\frac{a^n}{1}} $$ y esto converge.

Answer 5

SUGERENCIA: $$ \frac{a^n}{1+a^n}=\frac{a^n+1-1}{1+a^n}=1-\frac1{1+a^n} $$