Inecuaciones de adición con lim sup y lim inf

Question

$\lim\inf a_n+\lim\sup b_n\le\lim\sup(a_n+b_n)\le\lim\sup a_n+\lim\sup b_n$

Para la desigualdad correcta, asumo $A=\lim\sup a_n, B = \lim\sup B_n$ . Por lo tanto, para cualquier $\varepsilon$ existe $n_0$ tal que $a_{n}<A+\varepsilon$ para todos $n\ge n_0$ . Del mismo modo, para $b_n$ . Por lo tanto, para cualquier $\varepsilon$ existe $n_0$ tal que $a_n+b_n<A+B+\varepsilon$ para todos $n\ge n_0$ . Por lo tanto, $\lim\sup(a_n+b_n)\leq A+B$ .

Ahora, para la desigualdad de la izquierda, supongamos $A=\lim\inf a_n, B = \lim\sup B_n$ . ¿Cómo se puede comparar esto con $\lim\sup(a_n+b_n)$ ?

Answer 1

Si persigues dos enlaces hacia abajo tienes una posible solución, aunque quizás no quieras mirar eso. También pensé en un enfoque diferente en la línea de mi comentario que quiero compartir, pero sólo con pistas:

Objetivo: Para algunos $\epsilon$ , $a_n + b_n > A+B+\epsilon$ infinitamente a menudo.

1. Definición de $B$ : Hay un poco de $\epsilon$ con $b_n > B+\epsilon$ para un número infinito de $n$ .
2. Utilizar la definición de $A$ para conseguir que para cualquier $\delta$ , $a_n > A - \delta$ para un tamaño suficientemente grande $n$ . Elija $\delta$ adecuadamente.