Identificar

Question

Identificar %#% $ #%

¿Es una extensión conocida de una función de aspecto más simple? Entiendo que esta serie se convierte en infinita en números enteros.

Answer 1

Tenga en cuenta que (ver aquí) por el $x\not \in \mathbb{Z}$ % $ $$\pi\cot(\pi x)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}\frac{1}{x-k}=\sum_{k\in \mathbb{Z}}\frac{1}{x+k}.$ya que es analítica se puede distinguir él término por término y obtenemos, $$-\frac{\pi^2}{\sin^2{(\pi x)}}=\left(\pi\cot(\pi x)\right)'=\sum_{k\in \mathbb{Z}}\frac{-1}{(x+k)^2}.$ $finalmente $$\sum_{k\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(x+k)^2}=\frac{\pi^2}{\sin^2{(\pi x)}}.$ $

Answer 2

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\,{#1}\,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,\mathrm{Li}_{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

Tenga en cuenta que $\ds{\left.\sum_{k = 0}^{\infty}{1 \over \pars{k + z}^{2}}\right\vert_{\ x\ \not\in\ \mathbb{Z}} = \Psi\,'\pars{z}}$ es bien conocida la identidad. $\ds{\Psi}$ es la Función Digamma.

\begin{align} \color{#f00}{\mrm{f}\pars{x}} & \equiv \sum_{k = -\infty}^{\infty}\,\,{1 \over \pars{x + k}^{2}} = {1 \over x^{2}} + \sum_{k = 0}^{\infty} \bracks{{1 \over \pars{k + x}^{2}} + {1 \over \pars{k - x}^{2}}} \\[5mm] & = \overbrace{{1 \over x^{2}} + \Psi\, '\pars{x}}^{\ds{\Psi\, '\pars{1 + x}}}\ +\ \Psi\, '\pars{-x}\qquad\pars{~Recurrence~} \\[5mm] & = -\pi\,\totald{\cot\pars{\pi x}}{x}\qquad \pars{~Euler\ Reflection\ Formula~} \\[5mm] & = \color{#f00}{\pi^{2}\csc^{2}\pars{\pi x}} \end{align}

Answer 3

También podemos usar la fórmula conocida suma $\sum_ {k\in\mathbb {Z}} f\left (k\right) =-\sum\left\ {\textrm{residues de} \pi\cot\left(\pi z\right)f\left (z\right) \textrm {at} f\left (z\right) \textrm {de polos} \right\} $$ so we have to evaluate $$\underset{z=-x}{\textrm{Res}}\frac{\pi\cot\left(\pi z\right)}{\left(z+x\right)^{2}}=\lim_{z\rightarrow-x}\frac{d}{dz}\left(\pi\cot\left(\pi z\right)\right)=-\pi^{2}\csc^{2}\left(\pi x\right)$$ hence $$\sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac{1}{\left(k+x\right)^{2}}=\color{red}{\pi^{2}\csc^{2}\left(\pi x\right)}$$ obviously if $$ %x no es un entero.