La unión de dos ejemplares de $S^1$

Question

Así que sé el hecho de que la unión de $S^1$ y $S^1$ es homeomorfo a la 3-esfera, pero tengo problemas para "ver" esto. Preferiría algo que apelara a la intuición geométrica, pero también son bienvenidos los argumentos abstractos más formales. Quiero invocar los cuaterniones unitarios aquí, pero no se me ocurre una forma especialmente sencilla de hacerlo.

Si esta pregunta es demasiado "blanda" me disculpo sinceramente.

Answer 1

Discutimos aquí hace un rato el hecho de que $S^3$ puede describirse como el resultado de pegar dos toros sólidos a lo largo de sus límites.

Para obtener una razón geométrica del homeomorfismo $S^1*S^1\cong S^3$ puedes ver cómo se relacionan las dos construcciones: fíjate en que dos toros tienen dos centrales $S^1$ en su interior...

(Alternativa: intente ver qué $S^1*[0,1]$ es, fíjate que puedes describir $S^1$ como dos copias de $[0,1]$ identificados a lo largo de los límites, y vea cómo puede utilizar esta descripción en uno de los dos factores de $S^1*S^1$ .)

(Otra alternativa: si construye $S^1*S^1$ haciendo identificaciones en $S^1\times[0,1]\times S^1$ , cortar este último espacio en dos partes $S^1\times[0,1/2]\times S^1$ y $S^1\times[1/2,1]\times S^1$ , mira lo que hacen las identificaciones en cada mitad, y entonces pegar las dos partes)

Answer 2

Es mejor pensar en $S^3$ como sentarse en el interior $\mathbb{C}^2$ en lugar de $\mathbb{H}$ para entender $S^3=S^1\ast S^1$ .

En $\mathbb{C}^2$ Hay dos "ejes de coordenadas" $\mathbb{C}\times\{0\}$ y $\{0\}\times\mathbb{C}$ cada uno de los cuales contiene un círculo $S^1$ y la esfera $S^3$ se "rellena" con arcos contiguos $\{\cos(\theta)u+\sin(\theta)v\mid 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}\}$ entre puntos $u$ en el primer círculo y señala $v$ en el segundo círculo. De esta descripción se desprenden muchas cosas:

• $ \{\cos(\theta)u+\sin(\theta)v\mid \theta=0\}=S^1\times\{0\} $
• $ \{\cos(\theta)u+\sin(\theta)v\mid \theta=\frac{\pi}{2}\}=\{0\}\times S^1$
• $ \{\cos(\theta)u+\sin(\theta)v\mid \theta=\frac{\pi}{4} \}=$ toro de Clifford plano
• $ \{\cos(\theta)u+\sin(\theta)v\mid 0\le\theta\le\frac{\pi}{4}\} =$ toro macizo
• $ \{\cos(\theta)u+\sin(\theta)v\mid \frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\} =$ toro macizo

Evidentemente, los dos toros sólidos comparten una frontera, el toro de Clifford. (Arriba, $u,v$ no son fijos).

La descripción del llenado del arco también se aplica a $S^1=S^0\ast S^0$ (una $S^0$ son los polos Este/Oeste, los otros son los polos Norte/Sur) y $S^2=S^1\ast S^0$ (el $S^0$ son los polos Norte/Sur, y $S^1$ es el ecuador; los arcos son partes de longitudes).

Es posible visualizar la descripción de llenado de arco de $S^3$ algo utilizando la proyección estereográfica $S^3\to\mathbb{R}^3\cup\{\infty\}$ . Cada línea en $\mathbb{R}^3$ es un "círculo generalizado" que pasa por $\infty$ envolviendo el otro lado. Los dos círculos en $S^3=S^1\ast S^1$ proyectan a una línea que pasa por el origen y un círculo unitario alrededor de él. Para obtener los arcos entre la recta y el círculo, considere las secciones transversales del semiplano limitadas por la recta (intersecan el círculo alrededor de ella en un solo punto).

$\hskip 1in$

Los arcos entre el punto y la recta comprenden todos los semicírculos con diámetro en la recta y que intersecan al punto. Si se fija $\theta$ y que $u,v$ varían en tori en $S^3$ y sus secciones transversales en los semiplanos están en púrpura arriba.

Ejercicio: Un toro macizo es un círculo de discos. La descripción anterior implica que el complemento de un toro sólido es a su vez un toro sólido en $\mathbb{R}^3\cup\{\infty\}$ . ¿Cómo es esto?

Los cuaterniones ayudan a la descripción alternativa $S^3=S^0\ast S^2$ . El $S^0=\{\pm1\}$ está en el eje real, el $S^2$ son los vectores unitarios en $\mathbb{R}^3$ (el subespacio de los cuaterniones imaginarios), y el "llenado de arcos" está implícito en el hecho de que los cuaterniones unitarios tienen todos una única forma polar $\exp(\theta\mathbf{u})$ donde $\mathbf{u}$ es un vector unitario (por tanto, un sqrt de $-1$ ) y $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ .

Si se proyecta estereográficamente esa descripción, el $S^0$ te da el origen y el punto en el infinito, el $S^2$ es la esfera unitaria habitual, y los arcos constituyen todas las líneas ("círculos generalizados") que pasan por el origen.

(He editado una imagen de esta página web en lugar de hacer el mío propio).