Representación de la multiplicación de dos números en la recta real

Question

Hay una forma sencilla de representar gráficamente los números positivos $x$ y $y$ multiplicado utilizando sólo una regla y un compás: Basta con dibujar el rectángulo con altura $y$ en la parte superior de la misma lado $x$ (o viceversa), así

Pero, ¿hay alguna forma de sacar el número $xy$ directamente en la línea real (es decir, no como un área en top de la línea real) utilizando únicamente algunos medios de dibujo estándar como el uso de un compás, una regla, una regla, etc. (es decir, sin multiplicar $x$ y $y$ y luego poner el número $xy$ en el punto correcto), como se indica más arriba?

(Creo que esta pregunta en realidad pregunta si la multiplicación es representable como una composición de ( la traducción matemática de ) operaciones de trazado de círculos utilizando una regla, etc.)

Answer 1

Puedes hacerlo, pero si quieres volver a representar el resultado de la multiplicación como una longitud tienes que elegir una unidad. A los antiguos griegos no se les ocurrió esta idea; de ahí que sus productos fueran siempre áreas.

Respondiendo al comentario de temo: Cuando el punto $O\in g$ que representa el número $0$ se ha elegido la construcción geométrica para la suma de dos números es invariante de la escala, como consecuencia de $(\lambda x)+(\lambda y)=\lambda(x+y)$ ; pero no se cumple una identidad similar para la multiplicación: $(\lambda x)\cdot(\lambda y)\ne\lambda(x\cdot y)$ . Puede probar el efecto de la figura manteniendo $x$ y $y$ pero la elección de una nueva unidad $1'$ . El punto $xy$ estará ahora en un lugar diferente.

Answer 2

Aquí hay una pista y una respuesta ( $a+b$ , $a-b$ , $\frac ab$ también se puede hacer : ver el enlace ).

Answer 3

Tal vez el griego también podría salir con él, no necesariamente refiriéndose a la zona, sino con el disfraz de relación continuada (no es lo mismo que la proporción continuada):

A : B : C = A : C

Así que para la multiplicación, empezaríamos con:

1 : x

    1 : y

Por razonamiento geométrico, por ejemplo en la construcción de Blatters, porque tenemos triángulos similares, podríamos ver que 1:y está en igual proporción como x:xy:

1 : x

    x : xy

Así que si eliminamos el término medio obtenemos:

1 : xy

Answer 4

Esta es una vieja pregunta que yo mismo hice; vi este hilo y luego pensé en la respuesta, y esto es lo que se me ocurrió.

Supongamos que tengo tres segmentos que tienen en común el punto final A: un segmento con longitud 1 y punto final B, un segmento de longitud x con punto final X, y un segmento de longitud y con punto final Y. Todos estos puntos son colineales.

Construye tres circunferencias centradas en A que tengan radio 1, x e y. Construye C en la circunferencia unitaria de modo que AC sea perpendicular a AB. Los puntos en los que la línea que contiene a A y a C se cruzan con las otras circunferencias se llaman Cx y Cy de forma obvia.

Ahora crea un punto M en la línea que contiene a A e Y de manera que el ángulo ACxX sea congruente con ACyM. Como ACxX y ACyM son triángulos semejantes, puedes demostrar que la longitud de AM es x*y. (Esto fue inspirado por el tipo de proporción que se publicó en otra parte de este hilo)