Ecuación diofántica

Question

Estoy buscando información acerca de la siguiente ecuación diofántica:

$N = \displaystyle\frac{x^2+y}{x+y^2}$

¿Se ha estudiado? ¿Hay ningún algoritmo eficiente para resolverlo?
¿Los enlaces?

Han tratado de resolverlo por mí mismo este fin de semana, pero no han hecho ningún progreso...

Gracias de antemano
Philippe

P.S:
Mi primer post. Sorry por ser confusa.
¿Esta ecuación tiene soluciones en números enteros x, y para todo entero N > 0?

Answer 1

Siga user9325 sugerencia acerca de cómo completar las plazas, y, a continuación, (y) se puede aplicar la teoría de ecuaciones de Pell.

Edit: OK, supongo que no obtendrá nada de user9325 sugerencia, así que voy a tomar por ti.

$N=(x^2+y)/(x+y^2)$, $Ny^2-y=x^2-Nx$, $U^2-NV^2=1-N^3$ donde $U=2Ny-1$, $V=2x-N$. Este tiene la solución $U=-1$, $V=\pm N$. La solución $U=-1$, $V=N$ corresponde a $x=N$, $y=0$, que ya muestra que hay una solución para cada una de las $N$, pero tal vez eso es demasiado trivial. Luego de tomar cualquier solución a $a^2-Nb^2=1$ y se obtiene otra solución, $U=-a\pm bN^2$, $V=-b\pm aN$. Ahora $a^2-Nb^2=1$ tiene un montón de soluciones - que es la Pellian que he mencionado. Para $y$ a ser un número entero, usted necesita $a\equiv 1\pmod N$, por lo que tienen que estudiar lo suficiente de la teoría a ver si eso puede hacerse.

Si $N$ es un cuadrado, digamos, $N=m^2$, entonces el Pellian no se aplica, pero usted tiene algo más simple; $(U+mV)(U-mV)=1-m^6$. Ahora vas a conseguir en la mayoría de un número finito de soluciones, ya que hay sólo un número finito de maneras de factor de $1-m^6$. He aquí un ejemplo; tome $N=4=2^2$$m=2$$1-m^6=-63$; tomar $U+2V=63$, $U-2V=-1$ para obtener $U=31$, $V=16$; entonces $x=10$, $y=4$.