¿Cómo puedo demostrar que el número formado por la concatenación de los primos en orden, es decir $0.235711131719...$ es irracional.
Sé que tengo que demostrar que no tiene punto, pero estaré muy agradecido si alguien puede explicarlo muy claramente, incluyendo todos los casos.
Utilizamos Teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas. Sea $A_k$ sea el número cuya expansión decimal está formada por $k$ consecutivos $1$ 's. Los números $A_k$ y $10^{k+1}$ son relativamente primos. Por el Teorema de Dirichlet se deduce que hay infinitos primos de la forma $A_k +n\cdot 10^{k+1}$ . Tal primo tiene $k$ consecutivos $1$ en el extremo izquierdo de su expansión decimal.
Por lo tanto, su número tiene cadenas de $1$ de longitud arbitraria. Por otra aplicación más sencilla del Teorema de Dirichlet, el número tiene no $1$ 's arbitrariamente lejos en su expansión decimal. Por lo tanto, la expansión decimal no puede ser finalmente periódica.
$0.23571113...$ se conoce como la constante de Copeland-Erdős y viene dada por: $$ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty p_n 10^{-\left( n + \sum\limits_{k=1}^n \left\lfloor \log_{10}{p_k}\right\rfloor \right)} .$$ Aquí hay dos pruebas dadas en Hardy's libro Introducción a la teoría de los números (p. 113) que demuestra que es irracional:
$\phantom{}1)$ Supongamos que cualquier progresión aritmética de la forma $$k10^{\,s+1}+1\quad(k=1,2,3,\ldots)$$ contiene primos. Entonces hay primos cuyas expresiones en el sistema decimal contienen un número arbitrario $s$ de $\rm O$ 's, seguido de un $1$ . Desde el decimal contiene tales secuencias, no termina ni se repite.
$\phantom{}2)$ Supongamos que hay un primo entre $N$ y $10N$ por cada $N \geqslant 1$ . Entonces, dado $s$ hay primos con sólo $s$ dígitos. Si el decimal se repite, es de la forma $$... a_ 1 a_ 2 ...a_ k |a_ 1 a_ 2 ...a_ k |...$$ las barras que indican el período, y la primera se coloca donde comienza el primer período. Podemos elegir $l\gt1$ para que todos los primos con $s = kl$ Los dígitos se sitúan más tarde en el decimal que la primera barra. Si $p$ es el primer primo, entonces debe ser de una de las formas $$p = a_ 1 a_ 2 ...a_ k |a_ l a_ 2 ...a _k| ...|a _1 a_ 2 ...a_ k$$ o $$p = a_ {m+1} ..a_ k| a _1 a_ 2 ...a_ k| ...|a_ l a _2 ...a _k| a _l a _2 ...a_ m$$ y es divisible por $a$ , $a_2 ...a_k$ o por $a_{m+1} ..a_k a$ , $a_2 ...a_m$ una contradicción.
La primera prueba se deriva de un caso especial de Teorema de Dirichlet y la segunda a partir de un teorema que establece que para cada $N\geqslant1$ hay al menos un primo que satisface $N < p\leqslant2N$ . De ello se desprende, a fortiori, que se deduce, a fortiori, que $N < p < 10N$ .
Supongamos que esto comenzara a repetirse después de algún punto con un punto $N$ . Más allá de este punto, para cualquier $k$ hay como máximo $N$ diferentes cadenas de longitud $k$ que aparece en la parte repetitiva. Por tanto, basta con demostrar que para valores grandes de $k$ tenemos más de $N$ primos con $k$ dígitos. El teorema de los números primos nos dice que hay que esperar el número de primos con $k$ dígitos para ser del orden de $\frac{10^k}{k}$ Así que, en particular, para $k >> 0$ podemos hacer esto más grande que cualquier $N$ .
Supongamos que este número es eventualmente periódico con una longitud de período de $L$ . Entonces eventualmente tenemos infinitos primos en la secuencia tales que $P > 10^L$ y para algunos $P$ , $10^{nL} > P \geq 10^{nL - 1}$ (en otras palabras, podemos encontrar un primo cuya longitud de dígitos sea nL, un múltiplo de L) $^{[1]}$ . Entonces, como P tiene una longitud de dígitos que es un múltiplo de L, podemos escribir:
$$P = R \cdot 10^{L(n - 1)} + R \cdot 10^{L(n - 2)} + \cdots + R$$
Donde $R$ es la secuencia de repetición. Pero entonces $R|P$ y $P$ no es primo, una contradicción.
[1] Esto se justifica por el postulado de Bertrand, ver los comentarios en esta respuesta.
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