$\forall A\exists L(\mathcal P(L)=A)$

Question

Para ser honesto esta idea no es mia pero vi este axioma en algun lugar y no recuerdo donde

Es el axioma que dice que existe el "conjunto de logaritmos" $L$ para cada conjunto $A$ .

" $\forall A\exists L(\mathcal P(L)=A)$ "

Usando la intuición de la teoría ingenua de conjuntos podemos ver que tal $L$ no existe siempre y podemos derivar alguna contradicción también (en el concepto ingenuo) como por ejemplo esto

tenemos que

$\forall X (\varnothing \subset X)$ entonces $\forall X (\varnothing \in \mathcal P(X))$

Pero si permitimos el axioma del conjunto logaritmo tenemos

$\forall A\exists L(\mathcal P(L)=A)$ implica $\forall A(\varnothing \in A)$ y no es cierto.

Además tenemos que el conjunto logaritmo $L$ de $A$ siempre pertenece a $A$ .

$\forall A (\varnothing \in A)$

Si entiendo bien esto significa que el logaritmo aximom es inútil porque afirma la existencia de un elemento $L$ del conjunto $A$ para cada conjunto $A$ está en contradicción con el axioma del conjunto vacío.

Llegados a este punto, debo preguntarme por qué y cuándo puede utilizarse este axioma:

1- ¿Las contradicciones que he encontrado son suficientes para "echar del juego" este axioma para siempre?

2-Puede haber una alternativa axioma de teoría de conjuntos que permita que este axioma sea interesante? Tal vez podamos ampliar el universo del conjunto con "exóticos" exóticos" que nos permitan tomar siempre el "conjunto Logarith" de cada conjunto? conjunto?

Perdona si he cometido algún error gramatical y gracias de antemano.

Answer 1

Sí, la contradicción que has encontrado es suficiente para concluir que este axioma es muy contradictorio (es decir, es una contradicción con una de las propiedades fundamentales de la teoría de conjuntos, a saber, el conjunto vacío).

Quizás se pueda modificar para que sea un argumento de cardinalidad. Es decir, $$\forall A\exists L(A\neq\varnothing\rightarrow|2^L|=|A|),$$ pero eso tampoco va a funcionar. Tenga en cuenta que los números enteros son no cerrado bajo toma $\log_2$ . Si quieres que este axioma tenga algún sentido, entonces tienes que eludir este hecho. Nunca habrá ningún conjunto cuyo conjunto potencia contenga exactamente tres elementos.

Así que tal vez si requerimos que $A$ es infinito? Pero eso también va a fallar. $\aleph_0$ tiene la propiedad de que $|2^X|\neq\aleph_0$ no importa lo que pase $X$ es. Y no es el único cardinal infinito que tiene esta propiedad. Así que vas a tratar de trabajar más y más en eso. Esto también negará la existencia de cardinales inaccesibles, que tienen la misma propiedad que $\aleph_0$ aquí.

Supongamos que queremos maximizar la clase de conjuntos equipotentes con conjuntos potentes. ¿Qué quiero decir con maximizar? Bueno, dado un cardinal infinito $\aleph_\alpha$ Quiero que los cardenales menores de $\aleph_\alpha$ que son equipotentes con conjuntos de potencias es tan grande como sea posible sin causar contradicciones para conjuntos más pequeños $\alpha$ 's. Supongamos que podemos formalizar esto, observemos la consecuencia y veamos cuál es la formalización correcta.

Así que sabemos lo que ocurre con los conjuntos finitos, y sabemos que no todos los conjuntos infinitos pueden ser equipotentes con conjuntos potentes. $\aleph_0$ no puede ser. Pero $\aleph_1$ puede ser. En ese caso $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ . Entonces queremos $\aleph_2$ sea un conjunto de potencias, por lo que $2^{\aleph_1}=\aleph_2$ . Podemos continuar. No es difícil ver que en el momento en que llegamos a $\aleph_\omega$ el primer cardinal límite, $\sf GCH$ se mantiene por debajo. Tenemos que saltar $\aleph_\omega$ porque es demostrable que no puede ser equipotente a un conjunto de potencias. Así que continuamos de manera similar, y es evidente que en el momento en que llegamos a $\aleph_{\omega_1}$ que los conjuntos potentes de conjuntos de menor cardinalidad son exactamente $\aleph_{\alpha+1}$ para $\alpha<\omega_1$ .

En $\aleph_{\omega_1}$ es elegible como conjunto de potencias (por ejemplo, es coherente que $2^{\aleph_0}$ es $\aleph_{\omega_1}$ ), puesto que ya tenemos que es un cardinal límite fuerte -- no puede ser un conjunto potencia. Podemos seguir y seguir, así que tenemos que de hecho $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$ para cada ordinal $\alpha$ .

Básicamente, necesitamos $\sf GCH$ para sostener. Eso podemos formalizarlo.