Demostrando que $\{ f_a \}_{a \in A}$ satisfaciendo $\int \limits_{0}^{2\pi} |f_a(e^{i \phi})|^{1/2} d\phi \leq 1$ es una familia normal en $\mathbb{D}$

Question

Este es otro problema de un examen eliminatorio de análisis complejo del año pasado para el curso de preparación que estoy impartiendo ahora. La pregunta es la siguiente.

Dejemos que $F = \{ f_a \}_{a \in A}$ sea una familia de funciones holomorfas en una vecindad del disco unitario cerrado $\overline{\mathbb{D}} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \leq 1 \}$ . Supongamos también que

$$ \int \limits_{0}^{2\pi} |f_a(e^{i \phi})|^{1/2} d\phi \leq 1 $$

por cada $a \in A$ . Demostrar que $F = \{ f_a \}_{a \in A}$ es una familia normal en el disco unitario $\mathbb{D} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1 \}$ .

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Mi intento

Mi idea es utilizar Teorema de Montel Así que quiero mostrar que la familia $F$ está uniformemente acotado en subconjuntos compactos de $\mathbb{D}$ . De este modo, se permite $K \subset \mathbb{D}$ sea compacto, entonces hay una constante positiva $0 < M_K < 1$ , tal que para cada $\xi \in K$ tenemos $|\xi| \leq M_K$ . Entonces utilizando la fórmula integral de Cauchy obtenemos, para cualquier $a \in A$ y $\xi \in K$

\begin{align} f_a(\xi) = \frac{1}{2\pi i} \int \limits_{\partial \mathbb{D}} \frac{f_a(z)}{z - \xi} \, dz = \frac{1}{2\pi i} \int \limits_{0}^{2\pi} \frac{f_a(e^{i \phi})}{e^{i\phi} - \xi} \cdot ie^{i\phi} \, d\phi \end{align} Entonces, tomando los valores absolutos obtenemos

\begin{align} |f_a(\xi)| &\leq \frac{1}{2\pi} \int \limits_{0}^{2\pi} \frac{|f_a(e^{i \phi})|}{|e^{i\phi} - \xi|} \cdot |ie^{i\phi}| \, d\phi \\ &\leq \frac{1}{2\pi} \int \limits_{0}^{2\pi} \frac{|f_a(e^{i \phi})|}{ 1 - |\xi|} \, d\phi\\ &\leq \frac{1}{2\pi(1 - M_K)} \int \limits_{0}^{2\pi} |f_a(e^{i \phi})| \, d\phi\\ &= C_K \int \limits_{0}^{2\pi} |f_a(e^{i \phi})| \, d\phi \end{align} donde ponemos $C_K := \dfrac{1}{2\pi(1 - M_K)}$ y se utilizó la desigualdad del triángulo inverso para acotar $\dfrac{1}{|e^{i\phi} - \xi|} \leq \dfrac{1}{1 - |\xi|}$ . La constante $C_K$ es independiente de $a$ y $\xi$ . Por lo tanto, si puedo utilizar de alguna manera la hipótesis de que $\int \limits_{0}^{2\pi} |f_a(e^{i \phi})|^{1/2} \, d\phi \leq 1$ para acotar la última integral entonces el problema se resolvería porque se aplicaría el teorema de Montel. Pero desgraciadamente estoy atascado en este punto.

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Pregunta

¿Cómo puedo terminar el argumento? (asumiendo que lo que hice es la forma correcta de proceder)

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

No veo cómo concluir con lo que has hecho. Sin embargo, se puede demostrar el resultado de la siguiente manera.

El hecho clave es que para cualquier función holomorfa $f$ la función $\sqrt{\vert f\vert}$ est $subharmonic$ . Se deduce que para cualquier $a\in A$ y $z\in \mathbb D$ tenemos $$\sqrt{\vert f_a(z)\vert}\leq \int_0^{2\pi} P_z(\theta) \sqrt{\vert f_a(e^{i\theta})\vert}\, \frac{d\theta}{2\pi}\, ,$$ donde $P_z$ es el núcleo de Poisson en $z$ , $$P_z(\theta)=\frac{1-\vert z\vert^2}{\vert e^{i\theta}-z\vert^2}\cdot $$

Ahora bien, si $z$ se mantiene en un conjunto compacto $K\subset \mathbb D$ el núcleo de Poisson $P_z$ queda limitada por una constante $C$ dependiendo sólo de $K$ por lo que obtenemos que las funciones $\sqrt{\vert f_a\vert}$ , $a\in A$ están uniformemente acotados en $K$ . Por lo tanto, $(f_a)_{a\in A}$ es una familia normal.