Resolver para $n$ con factorial.

Question

Si $\sqrt{n! + 23}$ es un número entero, entonces $n=$ ?

Empecé: $k \in \mathbb{N}$ y:

$$k = \sqrt{n! + 23}$$

Es lo que sigue, $n! = k^2 - 23$

$\Gamma(n+1) = k^2 - 23$ ¿pero eso no ayuda?

Answer 1

Para $n\geq4$ tenemos que $n!+23$ deja resto $3$ mod $4$ . Pero los cuadrados de enteros sólo pueden dejar resto $0$ o $1$ mod $4$ .

Por lo tanto, sólo tenemos que comprobar $n=1,2,3$ .

Conseguimos que sólo $n=2$ da $$\sqrt{2!+23}=\sqrt{25}=5.$$

Answer 2

Si $n\geq 46$ entonces $23$ divide $n!+23$ pero $23^2$ no divide $n!+23$ Por lo tanto $n!+23$ no es un cuadrado. Esto hace que sólo tengamos un número finito de casos que comprobar.

Answer 3

Buscamos $n$ tal que $n!+23$ es cuadrado. Para $n\geq 5$ el último dígito de $n!$ est $0$ o en aritmética modular $n!\equiv 0\pmod{10}$ . Por lo tanto $n!+23\equiv 3 \pmod{10}$ . Por lo tanto no puede ser un cuadrado porque un cuadrado $\pmod{10}$ sólo puede ser $\{1,4,9,6,5\}$ . Queda por comprobar los casos $\lt 5$ y sólo $n=2$ trabaja¤