Infimum, supremum de un conjunto de problemas

Question

Yo estoy problemas algunos infimum/supremum y mi libro tiene diferentes respuestas para algunos de los problemas.

Que $A = \{ x \in \Bbb N | x^2 < 5\}$ encontrar sup A y A de inf, su respuesta es sup A = $\sqrt5$, inf A = $-\sqrt5$.

¿Creo que esto es incorrecto, puesto que A es un conjunto finito, su clara sup A = 2 y el inf A = 0, me falta algo?

¿Otro $A = \{x^2+x |x \in (-1, 1)\}$ dicen que sup A = 1 y inf A = 0, creo que sup A = 2 y el inf A = 0, otra vez equivoco?

Answer 1

Para el primero, yo diría que tienes razón. La solución oficial pareciera ser por $x \in \mathbb{Q}$ (o $\mathbb{R}$) en lugar de $x \in \mathbb{N}$.

Para el segundo, tome $x = -\frac{1}{2} \in (-1,1)$ (supongo que estos son los verdaderos numberse entre el$-1$$1$, excluyendo las fronteras). Entonces $$x^2 + x = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4},$$ por lo $\inf A \le -\frac{1}{4}$.

Sugerencia para resolver este:

Usted quiere comprobar las fronteras de intervalo (-1,1) y cualquier mínimo/máximo de su expresión en ese intervalo, para lo cual derivaciones va a ser muy útil. Uno de los obtenidos x (debe ser de 3 de ellos) le dará el infimum.

Answer 2

Tienes razón con el primero (inf $0\in\mathbb N$). La respuesta en el libro sería correcta si la declaración del problema tenía $\mathbb R$ o $\mathbb Q$ $\mathbb N$.

Para la segunda nota que $x^2+x=(x+\frac12)^2-\frac14\ge-\frac14$ con igualdad cuando $x=-\frac12$, que $\inf A=-\frac14$; y de la misma fórmula se puede ver que $x^2+x<(1+\frac12)^2-\frac14=2$.