¿Por qué es $\mathrm{arctan}(0)$ no infinito?

Question

$\arctan x$ se define como:

$$\arctan x = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}$$

Si ahora tengo $x = 0$ debo obtener:

$$\frac{1}{\frac{\sin(0)}{\cos(0)}} = \frac{1}{\frac{0}{1}} = \frac{1}{0} = \infty$$

pero realmente se define como el $\mathrm{arctan}(0) = 0$.

¿Qué llegar no?

Bodo

Answer 1

Usted ha golpeado en la gran anotación de la ambigüedad en la notación de funciones trigonométricas. Usualmente $\tan^n(x)$$(\tan(x))^n$. Esto incluye las potencias negativas: $$ \bronceado^{-2}(x) = (\tan(x))^{-2} = \frac{1}{\tan(x)^2} $$ etc. La excepción es el exponente $-1$. Nos reservamos $\tan^{-1}(x)$ a la media de la inversa de la función tangente. Por lo $\tan^{-1}(0)$ es el ángulo cuya tangente es igual a cero, es decir, cero.

Yo trato de evitar esa ambigüedad que nunca se han escrito $\tan^{-1}$. Voy a usar las $\arctan$ por la tangente inversa y $\cot$$\frac{1}{\tan}$. Pero la trampa es tan atractivo que a veces supera esta medida. Veo a los estudiantes que escriban cosas como: $$ \color{red}{\arctan(x) = \bronceado^{-1}(x) = \frac{1}{\tan x} = \cot x} \qquad\text{(Mal!)} $$ todo el tiempo. La primera y la tercera igual signos son correctos, pero no el uno en el medio.

Yo me hice en una escuela secundaria de cálculo examen de hace 25 años. Bienvenido al club!