Segunda cobertura preservada bajo CLOSED Continuous Surjection

Question

En mi Topología General supuesto que se ha demostrado recientemente el teorema que dice que la Segunda Countability Conservado en Abrir Continua Surjection y la pregunta natural es si podemos cambiar la opción "Abrir" condición de "Cerrado":

Conjetura:

Deje $T_A=(S_A,\tau_A)$ $T_B = (S_B,\tau_B)$ ser espacios topológicos. Deje $p:T_A \rightarrow T_B$ ser un surjective cerrado asignación que también es continua. Si $T_A$ es segundo contable , a continuación, $T_B$ es segundo contable

Traté de prueba y error, porque está cerrado es muy limitante, cuando estoy tratando de aplicar la función a una base para la prueba para el caso de que no puedan ser fácilmente adaptados :(

luego he intentado buscar y no se presentó y, a continuación, he encontrado este otro hilo que tiene una pregunta similar, pero se añade el extra hipótesis de que para cada $y \in Y$, $p^{-1}(y)$ es compacto. Así que ahora mi conjetura es que es probablemente falso sin ese extra de asunción.

Además, no he sido capaz de dar un contraejemplo y yo no podía encontrar en Lynn Steen Contraejemplos en la Topología

Puede alguien sugerencia conmigo en la dirección de un contraejemplo o prueba? Gracias.

Answer 1

De hecho, es falso en general. Ver a esta pregunta: si identificamos $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$ a un punto (las clases de equivalencia $\{\{x\}, x \notin \mathbb{Z}\}$ $\mathbb{Z}$ y darle el conjunto de clases de la topología cociente bajo el estándar de la función cociente $q$ el envío de cada punto a su clase), este es un cerrado mapa como $\mathbb{Z}$ es cerrado ($A$ cerrado, a continuación, $q^{-1}[q[A]]$ es igual a $A$ o $A \cup \mathbb{Z}$por lo que siempre cerrado, lo $q[A]$ cerrado por definición), pero la imagen no es la primera contables en la clase de $q(0)$, por lo que ciertamente no es segundo contable.

Continuo con $f$ con fibras compactas que a veces conseguir closedness de $f$ "gratis", entre "lo suficientemente bueno" espacios, no en general.

Answer 2

Considere la posibilidad de $\mathbb R$ con la topología usual, y considerar el cociente del espacio de $Y = \mathbb R / \mathbb Z$ (es decir, todos los enteros que identifican a un punto). El natural cociente de asignación de $q : \mathbb R \to Y$ es claramente continua y surjective. Es bastante sencilla de demostrar que está cerrado.

Tenga en cuenta que el espacio de $Y$ no es segundo contable. De hecho, el colapsado punto, vamos a llamar a $\star$, no tiene contables de la base local, por lo $Y$ no es el primer contables. Tenga en cuenta que para cada uno de los vecindarios $U$ $\star$ hay números positivos $( \delta_n : n \in \mathbb Z )$ tal que $( n - \delta_n , n ) \cup ( n , n + \delta_n ) \subseteq U$ por cada $n \in \mathbb Z$. Si tuviéramos una contables de la familia $\{ U_i : i \in \mathbb Z \}$ de abrir barrios de $\star$, entonces para cada a $i$ podemos tomar estos números positivos $( \delta_{i,n} : n \in \mathbb Z )$ anterior. Ahora consideremos el conjunto $$V = \{ \star \} \cup \bigcup_{n \in \mathbb Z} \left( ( n - \delta_{n,n}/2 , n ) \cup ( n , n + \delta_{n,n}/2 ) \right).$$ $V$ is clearly an open neighborhood of $\estrella de$, but no $U_i$ can be a subset of $V$, since $i + \delta_{i,i}/2$ is in $U_i$, but not in $V$.